随机梯度下降法

刚刚看完斯坦福大学机器学习第四讲（牛顿法），也对学习过程做一次总结吧。

一、误差准则函数与随机梯度下降：

数学一点将就是，对于给定的一个点集（X，Y），找到一条曲线或者曲面，对其进行拟合之。同时称X中的变量为特征（Feature)，Y值为预测值。

如图：

一个典型的机器学习的过程，首先给出一组输入数据X，我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数，这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计Y，也被称为构建一个模型。

我们用X1、X2...Xn 去描述feature里面的分量，用Y来描述我们的估计，得到一下模型：

我们需要一种机制去评价这个模型对数据的描述到底够不够准确，而采集的数据x、y通常来说是存在误差的（多数情况下误差服从高斯分布），于是，自然的，引入误差函数：

关键的一点是如何调整theta值，使误差函数J最小化。J函数构成一个曲面或者曲线，我们的目的是找到该曲面的最低点：

假设随机站在该曲面的一点，要以最快的速度到达最低点，我们当然会沿着坡度最大的方向往下走（梯度的反方向）

用数学描述就是一个求偏导数的过程：

这样，参数theta的更新过程描述为以下：

   （α表示算法的学习速率）

二、不同梯度下降算法的区别：

• 梯度下降：梯度下降就是我上面的推导，要留意，在梯度下降中，对于θθ的更新，所有的样本都有贡献，也就是参与调整θθ.其计算得到的是一个标准梯度。因而理论上来说一次更新的幅度是比较大的。如果样本不多的情况下，当然是这样收敛的速度会更快啦~

• 随机梯度下降：可以看到多了随机两个字，随机也就是说我用样本中的一个例子来近似我所有的样本，来调整θθ，因而随机梯度下降是会带来一定的问题，因为计算得到的并不是准确的一个梯度，容易陷入到局部最优解中

• 批量梯度下降：其实批量的梯度下降就是一种折中的方法，他用了一些小样本来近似全部的，其本质就是我1个指不定不太准，那我用个30个50个样本那比随机的要准不少了吧，而且批量的话还是非常可以反映样本的一个分布情况的。

三、算法实现与测试：

通过一组数据拟合 y = theta1*x1 +theta2*x2

#Python 3.3.5
import random
# matrix_A  训练集
matrix_A = [[1,4], [2,5], [5,1], [4,2]]
Matrix_y = [19,26,19,20]
theta = [2,5]
#学习速率
leraing_rate = 0.005
loss = 50
iters = 1
Eps = 0.0001
#随机梯度下降
while loss>Eps and iters <1000 :
    loss = 0
    i = random.randint(0, 3)
    h = theta[0]*matrix_A[i][0] + theta[1]*matrix_A[i][1] 
    theta[0] = theta[0] + leraing_rate*(Matrix_y[i]-h)*matrix_A[i][0]
    theta[1] = theta[1] + leraing_rate*(Matrix_y[i]-h)*matrix_A[i][1]
    Error = 0
    Error = theta[0]*matrix_A[i][0] + theta[1]*matrix_A[i][1] - Matrix_y[i]
    Error = Error*Error
    loss = loss +Error
    iters = iters +1
print ('theta=',theta)
print ('iters=',iters)
"""
#梯度下降
while loss>Eps and iters <1000 :
    loss = 0
    for i in range(4):
        h = theta[0]*matrix_A[i][0] + theta[1]*matrix_A[i][1] 
        theta[0] = theta[0] + leraing_rate*(Matrix_y[i]-h)*matrix_A[i][0]
        theta[1] = theta[1] + leraing_rate*(Matrix_y[i]-h)*matrix_A[i][1]
    for i in range(4):
        Error = 0
        Error = theta[0]*matrix_A[i][0] + theta[1]*matrix_A[i][1] - Matrix_y[i]
        Error = Error*Error
        loss = loss +Error
    iters = iters +1
print ('theta=',theta)
print ('iters=',iters)
"""
"""
#批量梯度下降
while loss>Eps and iters <1000 :
    loss = 0
    sampleindex =  random.sample([0,1,2,3],2)
    for i in sampleindex :
        h = theta[0]*matrix_A[i][0] + theta[1]*matrix_A[i][1] 
        theta[0] = theta[0] + leraing_rate*(Matrix_y[i]-h)*matrix_A[i][0]
        theta[1] = theta[1] + leraing_rate*(Matrix_y[i]-h)*matrix_A[i][1]
    for i in sampleindex :
        Error = 0
        Error = theta[0]*matrix_A[i][0] + theta[1]*matrix_A[i][1] - Matrix_y[i]
        Error = Error*Error
        loss = loss +Error
    iters = iters +1
print ('theta=',theta)
print ('iters=',iters)
"""

求解结果：

>>> 
theta= [2.9980959216157945, 4.001522800837675]
iters= 75

但如果对输入数据添加一些噪声

matrix_A = [[1.05,4], [2.1,5], [5,1], [4,2]]

求解结果为：

>>> 
theta= [3.0095950685197725, 3.944718521027671]
iters= 1000

可见在有噪声的情况下，要及时调整模型误差精度、迭代次数上限，一期达到我们的需求。

以上图片和公式均摘自： 梯度下降法

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