随机过程第1讲——泊松过程的模拟与检验

定义：泊松过程，简单的来说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}：①P(X(0)=0)=1。②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1，…，X(tn)-X(tn-1)相互独立。③增量X(t)-X(s) (t>s)的概率分布为泊松分布，即，式中Δ(t)为非降非负函数。若X还满足④X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程;这时Δ(t)=λt，式中常数λ>0称为过程的强度，因为EX(t)=Δ(t)=λt，λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段[0,t)内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。

%{
写在前面的话：
1）理论依据
2）实现过程：
  （1）由函数random(‘exponential’,lamda,n,m)构造服从指数分布的Xn序列；  help random
  （2）令S(1)=X(1),S(n+1)=S(n)+X(n+1); 这样可以做到的是保证每个时间间隔服从指数分布
  （3）对任意t∈（S(n),S(n+1)）,并且我们可以去认为，由此即可得到泊松过程。
%}

%% 时间间隔为泊松分布
lamda=2; %这个就是泊松分布的强度λ
% 同时时刻注意rand 与random 的区别,可以通过命令doc rand与doc random查看他们的区别
X=random('exponential',lamda,1000,1); %构造服从指数分布的Xn序列，个数为1000个
Px = plot(X); Px = figure; clf; %画出X的图像
%{
sort(d)%从小到大
sort(d,'descend')%从大到小
这一段我们是为了分析泊松分布的间隔的指数分布的图像
%}
[X1,index] = sort(X,'descend');Px1 = plot(X1); Px1 = figure; clf;%画出X的图像
S=[ ]; %构造向量
S(1)=X(1); %
%令S(1)=X(1),S(n+1)=S(n)+X(n+1);
for i=2:length(X)  %length( )测出向量长度
    S(i)=S(i-1)+X(i);
end %这个函数的作用是生成
Ps = plot(S); Ps = figure; clf;

%% 构造泊松分布
%{
再次解释
1）理论依据
2）实现过程：
  （1）由函数random(‘exponential’,lamda,n,m)构造服从指数分布的Xn序列；  help random
  （2）令S(1)=X(1),S(n+1)=S(n)+X(n+1);
  （3）对任意t∈（S(n),S(n+1)）,由此即可得到泊松过程。
%}

t=0:0.5:100;
N=[ ];
N(1)=0;  %规定好初始值为0
for j=2:length(t)
    for i=1 :length(S)
      if   ( t(j)>S(i) ) && ( t(j)<=S(i+1) ) %对任意t∈（S(n),S(n+1)）
          N(j,1)=i;
      end;
    end;
end;
plot(t,N); 
xlabel('t'); 
ylabel('N'); 
%注意：lamda为均值，可检验N(t)的增量

%% 检验过程
mu=expfit(X);
p=expcdf(X,mu);
H=kstest(X,[X,p]); %如果H为0接受原假设，否则拒绝原假设。

下面是具体的由程序步骤分析得出的一些图片：

图01 生成λ=2的指数分布

图02 由X(n)排序后时生成的指数分布图像

图03 泊松过程图