线性代数(19)——行列式(下)

行列式计算

在之前的基础上对行列式的性质进一步拓展，如果一个行列式的一行加（减）另一行的$k$倍，行列式的值不变。具体的证明过程如下，

整个过程与Gauss-Jordan消元法的过程是一致的。行列式的值与其经过Gauss-Jordan消元法后得到的行最简形式的行列式的结果是相等的。有一点不同的是，在行列式消元的时候不能进行归一化，因为归一化后，行列式的值就改变了。

Gauss-Jordan消元法的过程最理想的情况是将矩阵转换为一个对角矩阵，行列式的求取过程也是如此。

对角矩阵行列式计算

上、下三角矩阵行列式计算

如果Gauss-Jordan消元的结果存在零行，则行列式的值为0。

故总结行列式计算步骤，

1. 对方阵进行Gauss消元(即没有Gauss-Jordan消元法后向过程)
2. 不进行归一化处理
3. 如果消元结果中存在零行，则行列式的值为0
4. 如果不存在零行，则行列式的值为主对角线全部元素乘积

这也是大多数线性代数计算库计算行列式值的算法过程，这个过程本身的运算效率是较高的。

初等矩阵与行列式

$$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$$
这条性质在求取特征值的时候很关键。

对上面的式子取特殊情况，
$$\begin{gathered} det(A\cdot A^{-1})=det(A)\cdot det(A^{-1}) \\ det(I)=det(A)\cdot det(A^{-1}) \\ det(A)\cdot det(A^{-1})=1 \\ det(A^{-1})=\frac{1}{det(A^{-1})} \end{gathered}$$
因为矩阵$A$的逆存在，故无需担心$det(A)=0$，具体见行列式性质拓展。

行式就是列式

在之前，行列式的理解都是以行为单位的。但是实际上，对于行列式而言“行式就是列式”，即 $det(A)=det(A^T)$

所以之前证明的基于行的行列式的性质对于列也都是适用的，

正是因为这个定理，使得行列式从行角度和列角度看都是相同的。这也为之后的特征值、奇异值打下了良好的基础。