HDU_3089_约瑟夫环快速递推

HDU_3089_约瑟夫环快速递推

链接：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3089

题意：
约瑟夫环问题。给出 $n$ 个人，从 $1$ 到 $n$ 编号，$n$ 个人围成一个圈。第一个人从 $1$ 开始报数，数到 $k$ 的人杀掉，然后从下一个人开始重新报数，如此循环，直到只剩下一个人，问幸存的人的编号。

思路：

传统约瑟夫环问题：可以这么想，每减少一个人，相当于把序列整体循环左移 $k$ 位，也就是说，如果设存有 $i$ 个人时幸存者的序号为 $f(i)$ ，那么如果我们已知还留存有$i-1$个人时幸存者的序号 $f(i-1)$ ，那么逆推状态 $f(i)=(f(i-1)+k)\%i$ （$+k$ 是右移，因为会超范围，所以模 $i$，使得数据都在范围$0\to i-1$，因为取模我们从 $0$ 开始报数，求得结果加一即可）。只剩下一个人时， $f(1)=0$ 。时间复杂度 $O(n)$。
状态转移方程：
$$f(i)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ i=1 }\\ (f(i-1)+k)\%i& \text{ i∈2...n }\end{array}$$

$$幸存者编号：ans=f(n)+1$$

本题：但是这道题的 $n$ 非常大，看似无法用上述算法。但是这题的 $k$ 很小，只有 $1000$。观察上式可以发现 $k$ 比较小的时候递推后期可能加若干个 $k$ 才会取模。那么我们是不是可以多步递推来加速递推式？没错，就是这样。

1. 当 $f(i-1)+k\ge i$ 时，直接递推。
2. 当 $f(i-1)+k<i$ 时，加速优化。

那么可以加速多少步呢？设加速步数为 $x$。
$$\{\begin{array}{l}f(i)=(f(i-1)+k)\%i\\ .\\ .\\ .\\ f(i+x-1)=(f(i-1)+x\ast k)\%(i+x-1)\end{array}$$
设 $f(i-1)=ans$

则 $ans+x\ast k<i+x-1$ 时，不会取模，这时加速递推($x<\frac{i-ans-1}{k-1}$)

注意：

1. 当 $i-ans-1$ 能整除 $k-1$ 时，$x=\frac{i-ans-1}{k-1}-1$，否则 $x=\frac{i-ans-1}{k-1}$
2. 加速递推时， $i+x-1$ 可能会大于等于 $n$ ，这时直接终止。

$AC代码$

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

LL n, k;
LL ans, x;

int main(int argc, char const *argv[])
{
    while(cin>>n>>k) {
        if(k == 1) {
            cout<<n<<endl;
            continue;
        }
        ans = 0;
        for (LL i = 2; i <= n; i+=x) {
            if(ans + k >= i) { // 直接递推
                x = 1;
            }
            else { // 加速优化
                if((i-ans-1)%(k-1) == 0) {
                    x = (i-ans-1)/(k-1)-1;
                }
                else {
                    x = (i-ans-1)/(k-1);
                }
                if(i+x-1 >= n) {
                    ans = ans + (n-i+1)*k;
                    break;
                }
            }
            ans = (ans + k * x)%(i+x-1);
        }
        cout<<ans+1<<endl;
    }
    return 0;
}