MATLAB中通过fft计算信号频谱的问题

之前一直在做声音相关的一个项目，其中用到了很多信号频谱的问题，包括fft点数的选取、fft之后画图横纵坐标的问题、fftshift的用法等等。前面因为忙，也没有仔细研究，现在将问题总结如下：

1.fft点数的选取。

众所周知，fft是快速傅里叶变换，当信号为2的整数幂时效率最高（当然还有基为3，4的fft，用的不多此处不表，下面提到的fft均为基是2的fft）。
而现实生活中的信号往往并不是2的整数幂，那么这时候应该怎么办呢？
个人认为解决方案有两种：
（1）采用离散傅里叶变换（DFT）的定义来做，这样就能保证对任意点数都能处理，但缺点就是计算量大，速度太慢。因此当数据量小的时候，可以这么用。
（2）在原始信号后面补零，使其长度变成2的整数幂。这是目前最常见的做法，matlab里面的fft函数就是这样做的。好处是有很多现成的fft算法，当你信号长度2的整数幂时，速度会很快、很方便，缺点则是精度上有点差距。

2.fft之后画图横纵坐标的问题以及fftshift的用法。

之前用matlab中的fft，只是用用函数，并未对其进行全面了解，但最近在画频谱图的时候发现横纵坐标的意义根本不懂，fftshift又是怎么用呢？下面通过一段代码和实验说明。

Fs = 5000; % Sampling frequency
T = 1/Fs; % Sample time
N = 1000; % Length of signal
t = (0:N-1)/Fs; % Time vector

x = 0.5*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
X1=abs(fft(x))

xx1=abs(fft(x));
xx2=fftshift(abs(fft(x)));

figure
subplot(4,1,1)
plot(x);
title(‘x = 0.5*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t)’);
subplot(4,1,2)
plot(xx1);
title(‘abs(fft(x))’);
subplot(4,1,3)
plot(xx2);
title(‘fftshift(abs(fft(x)))’);
subplot(4,1,4)
plot((1:N/2-1)*Fs/N,X1(1:N/2-1))*2/N;;
title(‘plot((1:N/2-1) * Fs/N, X1(1:N/2-1) * 2/N)结果图’);

可以看出，
（1）经过matlab里abs(fft(x))的结果即为信号x的频谱，而加上fftshift则是将信号关于0频进行对称。
（2）abs(fft(x))取前半部分，fftshift(abs(fft(x)))取后半部分，则为正确的频谱图（但横纵坐标不对）。
（3）最终正确的频谱图为第四个子图所示，横纵坐标均需要特殊处理：
纵坐标： abs(fft(x))* 2 / N才为真实频谱幅值。
横坐标： plot((1:N/2-1) * Fs/N, X1(1:N/2-1) )，只取一半，并且要乘以频率分辨率Fs/N才为真实的频率值。