【Linear Algebra 线性代数】1、用几何去表现方程组

学习资源：
　－　麻省理工公开课：线性代数【讲师：Gilbert Strang】
　－　绘图工具 - Geogebra
个人笔记

用几何去表现方程组

先定义一个简单的方程组：
注意：使用简单的方程组只是为了让普遍规律的可视化更容易让人接受。

{2x−y=0(i)−x+2y=3(ii) { 2 x − y = 0 ( i ) − x + 2 y = 3 ( i i )

根据该方程组，将其转换为Ax=b格式：

[2−1−12] [xy] =[03] [ 2 − 1 − 1 2 ]   [ x y ]   = [ 0 3 ]

其中

A=[2−1−12]b=[03] A = [ 2 − 1 − 1 2 ] b = [ 0 3 ]

我们给出Ax=b的 行图像(Row picture):

　从图中可以轻易看出这个方程组的解为

{x=1y=2 { x = 1 y = 2

接下来我们看看列图像(Columns picture):
此时，我们可以把原方程组转换成：

x[2−1]+y[−12] =[03] x [ 2 − 1 ] + y [ − 1 2 ]   = [ 0 3 ]

这次我们把原方程组里的系数按列取出来构成矩阵列的线性组合(Linear Combination Of Columns)。可以思考一下，列图像会是怎样的呢？

我们把Row picture得到的解代入到Column picutre中看看会有怎样的结果~

这个就是使用线性组合解决方程组的思想。

---

我们稍微拓展一下，三维情况下又是怎样的呢？
给定方程组：

⎧⎩⎨2x−x−+−y2y3y−+z4z===0−14 { 2 x − y = 0 − x + 2 y − z = − 1 − 3 y + 4 z = 4

根据方程组，给出系数矩阵A和目标矩阵b：

A=⎡⎣⎢2−10−12−30−14⎤⎦⎥b=⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥ A = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 3 4 ] b = [ 0 − 1 4 ]

老样子，先画出Row picture：

哇…. How a terrible picture！ 复杂，我也不喜欢这样的图像.
这个方程组比较简单，直接看Ax=b即可得出解

⎧⎩⎨x=0y=0z=1 { x = 0 y = 0 z = 1

让我们试试Column picture吧。
先描述矩阵列的线性组合：

x⎡⎣⎢2−10⎤⎦⎥+y⎡⎣⎢−12−3⎤⎦⎥+z⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥ = ⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥ x [ 2 − 1 0 ] + y [ − 1 2 − 3 ] + z [ 0 − 1 4 ]   =   [ 0 − 1 4 ]

绘制出Column picture：

em…这个图像看上去舒服多了。显然，在三维空间下，相比较于使用Row picture，Column picture表现的方程组更加直观。

思考一个问题（仅限于上述方程组）：
Can i solve Ax=b for every b?
在三维空间中，对于任意的b，是否都能找到一个对应的解？
这个问题等价于：
在三维空间中，该矩阵列的线性组合的解是否为整个三维空间？
从图像中我们可以看出，答案是肯定的。
那么，什么时候答案的值为否？
根据三点组成一面，我们可以考虑到：当三个点都位于同一个平面上时，矩阵列的线性组合的解就是这个平面，这意味着此时的解不可能在该平面之外。

---

最后，我们来讨论一下如何计算矩阵和向量的相乘。
通常我们使用的方法是矩阵的每一行与向量相乘的点积结果为结果该行的值。举个栗子：

[2153][12] =[2∗1+5∗21∗1+3∗2] =[127] [ 2 5 1 3 ] [ 1 2 ]   = [ 2 ∗ 1 + 5 ∗ 2 1 ∗ 1 + 3 ∗ 2 ]   = [ 12 7 ]

但Gilbert Strang老师更喜欢使用下面这种方法：

[2153][12] =1[21]+2[53] =[127] [ 2 5 1 3 ] [ 1 2 ]   = 1 [ 2 1 ] + 2 [ 5 3 ]   = [ 12 7 ]

没错，就是按列从矩阵中提取出列向量，然后按行从向量中提取出对应的值进行相乘，最后的和即为结果。

总结：
本节中我们初步认识到对方程组采用不同的线性组合能够绘制出不同的图像；
另外，有时候我们还需要考虑超过三维空间的问题，比如说九维空间等等，很明显，我们不可能去描述、想象出对应的图像，那么我们应该怎样去解决这一类的问题？下一节将通过消元法解开这个疑惑。