2019icpc上海网络赛D Counting Sequences I

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题意：给定n，求满足下面关系的集合$a$个数。

思路：容易想到，积增加的速度远快于和，那么n大一点时，就是【若干个数与若干个1相加】与【这些数相乘】相平衡。由于$2^{12}=4096$,故非1的数最多11个，那么dfs枚举所有的组合加上剪枝即可。计算组合时，用了一点组合数学的技巧。比如1111111111223334这个，会多次枚举223334这6个数，因为$6!==这6个数的不同排列数\ast 3！\ast 2！\ast 1！$，那么我们每次枚举到一个排列，都除去1的个数的阶乘，再除以6！（因为除以6！等价于除以（这6个数的不同排列数*3！*2！*1！），而这6个数的不同排列都会枚举到）。这样的话，$计算1次\frac{16!}{10!\ast 3!\ast 2!\ast 1!}就等效成计算\frac{6!}{3!\ast 2!\ast 1!}次\frac{16!}{10!\ast 6!}之和。$

#include
using namespace std;
const int maxn=3005;
const int mod=1000000007;
typedef long long ll;

int T,n;
ll fac[maxn],inv[maxn],ans[maxn];

ll pow_mod(ll a,ll n)
{
	if(!n)return 1;
	ll x=pow_mod(a,n/2);
	x=x*x%mod;
	if(n&1)x=x*a%mod;
	return x;
}

void init()
{
	fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,inv[i]=pow_mod(fac[i],mod-2);
}

void dfs(int depth,int sum,ll mul)
{
	int n=mul-sum+depth;
	if(n>3000)return;
	ans[n]=(ans[n]+fac[n]*inv[n-depth]%mod*inv[depth]%mod)%mod;
	for(int i=2;i<=6000/mul;i++)
	{
		dfs(depth+1,sum+i,mul*i);
	}
}

int main()
{
	//freopen("input.in","r",stdin);
	init();
	dfs(0,0,1);
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		cout<<ans[n]<<endl;
	}
}