【SDOI2013】保护出题人

Description

​出题人铭铭认为给SDOI2012 出题太可怕了，因为总要被骂，于是他又给SDOI2013 出题了。
参加SDOI2012 的小朋友们释放出大量的僵尸，企图攻击铭铭的家。而你作为SDOI2013的参赛者，你需要保护出题人铭铭。
僵尸从唯一一条笔直道路接近，你们需要在铭铭的房门前放置植物攻击僵尸，避免僵尸碰到房子。第一关，一只血量为a1 点的僵尸从距离房子x1 米处匀速接近，你们放置了攻击力为y1 点/秒的植物进行防御；第二关，在上一关基础上，僵尸队列排头增加一只血量为a2点的僵尸，与后一只僵尸距离d 米，从距离房子x2 米处匀速接近，你们重新放置攻击力为y2 点/秒的植物；……；第n 关，僵尸队列共有n 只僵尸，相邻两只僵尸距离d 米，排头僵尸血量为an 点，排第二的僵尸血量a_n −1 ，以此类推，排头僵尸从距离房子xn 米处匀速接近，其余僵尸跟随排头同时接近，你们重新放置攻击力为yn 点/秒的植物。
每只僵尸直线移动速度均为1 米/秒，由于植物射击速度远大于僵尸移动速度，可忽略植物子弹在空中的时间。所有僵尸同时出现并接近，因此当一只僵尸死亡后，下一只僵尸立刻开始受到植物子弹的伤害。
游戏得分取决于你们放置的植物攻击力的总和Σyi (1<=i<=n)，和越小分数越高，为了追求分数上界，你们每关都要放置攻击力尽量小的植物。

Data Constraint

对于30%的数据，n≤ 10^3 ；
对于50%的数据，n≤ 10^4 ；
对于70%的数据，1≤n≤10^5，1≤d≤10^6 ,1≤x≤10^6 ,1≤a≤10^6 ；
对于100%的数据， 1≤n≤10^5，1≤d≤10^12 ,1≤x≤10^12 ,1≤a≤10^12 ；

分析

对于每个i的答案分别计算。对于当前的i，设 sum[i]=∑ij=1a[i] 答案就是 max(f[i]−f[j−1]x[i]+d∗(i−j))(1≤j≤i) 。这个答案可以满足对于i个僵尸所要满足的条件。

做到这里，就可以得到可观的分数了。

观察这个式子，不难发现，分子和分母都可以分成两部分，分别与i、j有关。那么求答案这一步就相当于求一个点(d * j,f[j-1])（1≤j≤i），使得它与(x[i]+d * i,f[i])所连直线的斜率最大。数据的d、a都是正数，所以x[i]+d*i和f[i]都是递增的。在顺序枚举i的同时，维护一个下凸壳，然后在凸壳上三分答案即可。

#include 
#include 
#include 

#define db double

using namespace std;

const int maxn=100005;

int n,top,l,r,m1,m2;

db x[maxn],y[maxn],f[maxn],a[maxn],X[maxn],ans,d;

db calc(int i,int j)
{
    return (f[i]-y[j])/(X[i]+i*d-x[j]);
}

bool check(db x1,db y1,db x2,db y2,db x,db y)
{
    return (x1-x)*(y2-y)-(x2-x)*(y1-y)<0;
}

int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&d);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf",&a[i],&X[i]);
        f[i]=f[i-1]+a[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (;top>1 && check(x[top],y[top],i*d,f[i-1],x[top-1],y[top-1]);top--);
        y[++top]=f[i-1]; x[top]=i*d;
        for (l=1,r=top,m1=l+(r-l)/3,m2=r-(r-l)/3;r-l>2;m1=l+(r-l)/3,m2=r-(r-l)/3)
            if (calc(i,m1)else r=m2;
        db tmp=-1e20;
        for (int j=l;j<=r;j++) tmp=max(tmp,calc(i,j));
        ans+=tmp;
    }
    printf("%.0lf\n",ans);
    return 0;
}