线性代数：矩阵的LU分解

本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第四节： A的LU分解 的学习笔记。

本篇主要讲解 矩阵的LU分解。

矩阵的LU分解

基础公式

公式一

假设方阵 A 可逆矩阵为 A−1 ，则 AA−1=I=A−1A 。

公式二

假设方阵 A 、B 可逆矩阵分别为 A−1 、 B−1 ，那 AB 的可逆矩是什么呢？ 答案是： B−1A−1 。

我们可以证明下：

(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=I

公式三

(AB)T=BTAT

公式四

假设方阵 A 可逆，那 AT 的可逆矩阵是什么呢？

AA−1=I(AA−1)T=IT(A−1)T(A)T=I

上面公式说明A转置的逆矩阵为A的逆矩阵的转置。

示例说明

系数矩阵 A 经过消元后得到矩阵 U (upper，表示上三角矩阵)，那A 和 U 有什么关系呢，它们之间的关系可以通过矩阵 L （lower，表示下三角矩阵）来表示。

2x2 矩阵情况

以2x2矩阵为例，系数矩阵为 A， 由于需要将 A2,1 变为0，所以设初等矩阵为 E2,1 。则：

E2,1A=U

[][2817]=[2013]

考虑下，最左侧矩阵（ E2,1 ）应该为什么呢？

[1−401][2817]=[2013]

我们想要得到的矩阵是 L。

A=LU

[2817]=[][2013]

观察下这两个公式：

E2,1A=UA=LU

可以发现，L 其实就是 (E2,1)−1 。

L=(E2,1)−1=[1401]

有时候也会将主元单独提取出来，即 A=LU=LDU

[2817]=[1401][2003][101/23]

3x3 矩阵情况

对于3x3矩阵来说，首先需要将 A2,1 变为0，其次需要将 A3,1 变为0，最后需要将 A3,2 变为0。所以依次左乘 E2,1 、 E3,1 、 E3,2 。即：

E3,2E3,1E2,1A=U

。

则：

A=(E2,1)−1(E3,1)−1(E3,2)−1U=LUL=(E2,1)−1(E3,1)−1(E3,2)−1

假设

A=⎡⎣⎢24627182722⎤⎦⎥→row2=row2−2row1⎡⎣⎢20623182322⎤⎦⎥→row3=row3−3row1⎡⎣⎢20023122316⎤⎦⎥→row3=row3−4row1⎡⎣⎢200230234⎤⎦⎥=U

使用初等矩阵E左乘实现。

E3,2E3,1E2,1=⎡⎣⎢10001−4001⎤⎦⎥⎡⎣⎢10−3010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢1−20010001⎤⎦⎥

则：

L=⎡⎣⎢120010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢103010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢100014001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢123014001⎤⎦⎥

对于 A=LU ，如果不存在行互换，则 L 中主对角线元素为1，主对角线上元素为0，主对角线下元素分别为消去该位置元素的消元乘数。