NP完全问题 8.9

8.9. In the Hitting Set Problem, we are given a family of sets {S1,S2,…,Sn), and a budget b, and we wish to find a set H of size <= b which intersects every Si,if such an H exists ,In other words, we want H∩Si != ∅ for all i,show that Hitting Set is NP-complete.

证明：

1. 证明该问题是一个NP问题

给出一个确定的集合H，我们可以很容易的用多项式时间去验证，H是否与每一个Si相交，因此是NP问题

2. 证明该问题是一个NP-hard问题

我们用最小顶点覆盖问题来归约碰撞集问题，因为我们已知最小顶点覆盖是一个NP-hard问题
给定一个图G = （V，E），Si即为G中的边，Si = {v1, V2}为这条边的两个顶点，一个图G的最小顶点覆盖即找到一个最小的顶点集，使得所有在图中的边，都被这些顶点说包含的边所覆盖。这个顶点集就是H，若找不出该顶点覆盖来触及每一条边，则意味着不存在这样一个H与每一个集合Si相交，若顶点覆盖的顶点数大于b，则意味着H的规模也会大于b，因此是NP-hard问题

3. 证明该问题是一个NP-complete问题

因为碰撞集问题是一个NP问题，还是一个NP-hard问题，根据对NP-complete的定义，碰撞集是一个NP完全问题