[NOI2013]向量内积

题目描述

解题思路

发现k只有2和3，我们先考虑2怎么做。
转化一下，考虑原本的n个向量，我们把它写成一个n*d的矩阵 A A ，然后再转置矩阵变成 AT A T ，再 A∗AT A ∗ A T ，得出矩阵 B B ，那么 Bi,j B i , j 代表第i个向量和j的点积的值。那么现在问题变成B矩阵除了对角线是不是全是1。当然…现在直接做依然是 O(n2d) O ( n 2 d ) 的

一种判断两个矩阵是否相等的方法是，设随机向量 v v ，若 v∗A=v∗B v ∗ A = v ∗ B ，那么可能有 A=B A = B ，正确率大概是1/2，当然，不相等那就肯定不等了。

怎么使用这个东西呢？假设我们知道 A∗AT A ∗ A T ，那么如果不存在一对可行解，那么 A∗AT A ∗ A T 除了对角线全是1。我们设随机向量v（1*n的向量），O(nd)地算出 v∗A∗AT v ∗ A ∗ A T ，设为 av a v ；再设 C C 为对角线和 A∗AT A ∗ A T 相同，其余位置全为1的矩阵，算出 bv=v∗C b v = v ∗ C ，这个由于C是除对角线的全一矩阵，所以O(n)就可以算出来，具体地，我们可以先当成全1矩阵算，再消去对角线影响。
此时，如果两个向量一样，那么可能A=B，如果不一样，就出解了，不一样的那一位，就是可行点对中的其中一个，然后我们枚举其他向量和他组合找到答案即可。
一样的话还要随机多几次，大概10次以上就够了。

矩阵乘法基础知识

我太菜了…实现都不会
注意到 a×b的矩阵和b×c a × b 的 矩 阵 和 b × c 的矩阵乘起来是 a×c a × c 的矩阵，向量相当于一个 1×n 1 × n 或者 n×1 n × 1 的矩阵。
然后矩阵乘法的时候，我们知道最终矩阵的大小，然后枚举这个大小的两维，再枚举一个循环来做乘法即可。
然后寻址优化一下。

k=3怎么做？

考虑到此时有可能有2，就不能搞全1矩阵了。此时，我们考虑把 A∗AT和C A ∗ A T 和 C 最终的每一位都平方一下，那么最终矩阵的2就没有了，此时，我们要对 A和AT A 和 A T 做一些改变，才能让上面的方法搞出来的意义是平方后的结果。
考虑到两个向量点积的平方的式子： (∑i=1..daibi)2=∑i=1..d∑j=1..daiajbibj ( ∑ i = 1.. d a i b i ) 2 = ∑ i = 1.. d ∑ j = 1.. d a i a j b i b j ，那么我们可以把原向量看成长度为d*d的向量，具体地 newa(i−1)∗d+j=ai∗aj n e w a ( i − 1 ) ∗ d + j = a i ∗ a j ，然后这样我们再套用上面的算法即可。

代码

#include 
#include
#include
#include
#include
//¿ª O2£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡ 
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N=1e5+5,D=105;
int a[N][D],c[N],v[N],v1[N],v2[N],sum,seed,TT,i,j,k,l,n,d,K;
void get(int x)
{
    fo(i,1,n) if (i!=x)
    {
        sum=0;
        fo(j,1,d) sum=(sum+a[i][j]*a[x][j])%K;
        if (!sum)
        {
            if (x>i) swap(x,i);
            printf("%d %d\n",x,i);
            exit(0);
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("3.in","r",stdin);
//  freopen("3.out","w",stdout);
    scanf("%d %d %d",&n,&d,&K);
    fo(i,1,n) 
        fo(j,1,d)
        {
            scanf("%d",a[i]+j);
            seed=seed^a[i][j];
            a[i][j]%=K;
        }
    if (K==2) fo(i,1,n) 
    {
        fo(j,1,d) c[i]=(c[i]+a[i][j]*a[i][j]);
        c[i]%=K;
    }
    else fo(i,1,n) 
    {
        fo(j,1,d) c[i]=(c[i]+a[i][j]*a[i][j]);
        c[i]=c[i]*c[i]%K;
    } 
    srand(seed);
    fo(TT,1,6)
    {
        sum=0;
        fo(i,1,n) v[i]=rand()%K,sum+=v[i];
        sum%=K;
        // vc[1~n]=sum
        if (K==2)
        {
            fo(j,1,d) v1[j]=0;
            fo(i,1,1)
                fo(k,1,n)
                    fo(j,1,d)
                        v1[j]=v1[j]+v[k]*a[k][j];
            fo(j,1,d) v1[j]%=K;
            fo(j,1,n) v2[j]=0;
            fo(i,1,1)
                fo(j,1,n)
                    fo(k,1,d)
                        //v2[j]=(v2[j]+v1[k]*a[k][j])%K;
                        v2[j]=v2[j]+v1[k]*a[j][k];
        }else
        {
            fo(j,1,d*d) v1[j]=0;
            fo(i,1,1)
                fo(k,1,n)
                    fo(j,1,d)
                        fo(l,1,d)
                            v1[(j-1)*d+l]=v1[(j-1)*d+l]+v[k]*a[k][j]*a[k][l];
            fo(j,1,d*d) v1[j]%=K;
            fo(j,1,n) v2[j]=0;
            fo(i,1,1)
                fo(j,1,n)
                    fo(k,1,d)
                        fo(l,1,d)
                        //v2[j]=(v2[j]+v1[(k-1)*d+l]*a[k][j]*a[k][l])%K;
                        v2[j]=v2[j]+v1[(k-1)*d+l]*a[j][k]*a[j][l];
        }
        fo(i,1,n) v2[i]=(v2[i]+(1-c[i])*v[i]+K)%K;
        fo(i,1,n) if (v2[i]!=sum) get(i);
    }
    printf("-1 -1\n");
}