博弈论之Nim游戏

在网上看到了很多关于此类的文章，大多都讲了什么N必胜态P必败态之类的，证明也是十分的专业，数学渣渣表示都看不懂啊。经过我努力的理解，总算懂得了它的精髓，让我来谈谈对它的理解吧。

先介绍一下Nim游戏，有n堆石子，A和B轮流取任意一堆（只能一堆）中的任意数量的石子（不能不取），谁先取完谁就赢，两人总是用最优策略

Nim游戏的精髓（结论）：当a1^a2^a3^……^an=0(ai表示第i堆石子的数量)时，后手必胜，否则先手必胜

^就是异或，当他们全部异或等于零时，说明每个二进制为上的1的总数量都是偶数，比如这个例子：

n=3

a=15 , 41 , 38

转成二进制就是：

15：001111
41：101001

38：100110

这样他们异或之后就是零，在三个数字中的每一个二进制位上，1的总数量总是偶数，看过其他文章的人大多都知道这么个经典的后手必赢局势：有两堆石子，它们数量相同。那么无论先手怎么取，后手在另一堆中取数量相同的石子即可，最后后手一定赢。那么在这个例子中也一样，无论先手怎么取，后手只要在某一堆中取若干个石子使得每个二进制位上的1的总数量仍是偶数即可，不一定取数量相同的，先手取完后，后手取的方法就是先找到所有一共只有奇数个1的二进制位，取它们中位数最高的那个，对那上面的1做操作，也就是去掉若干个石子，使得这个1变为0，其他的1一共只有奇数个的二进制位上各得到一个1，这样说可能十分抽象，我结合这个例子来讲吧

假如先手在第一堆取14个石子，那么就会变成：

000001
101001

100110

然后发现有三个二进制位上的1的总数为奇数

找到三个多出来的1，它们里面位数最高的已经标出来了，所以我们只需要对它做操作，应该说是对它所在的那堆石子做操作，因为它位数最高，所以它总有一种办法，使得减掉一些石子后使得其他的只有奇数个1的二进制位的1的数量+1，也就是变成偶数，这个例子可以这么动：后手在第二堆中取走2个，那么就会变成：

000001
100111

100110

这样子的话，每一个二进制位上的1的总数就仍然是偶数了，那么取到最后，就一定是后手获胜。

假如a1^a2^a3^……^an≠0时，先手只要像上面的后手一样走，先去掉一些石子，使得a1^a2^……^an=0,然后就必胜了

所以当a1^a2^a3^……^an=0时，后手必胜，否则先手必胜