什么是“判定问题”？（1）－ 可计算性理论与计算复杂性理论

什么是“判定问题”？（1）－ 可计算性理论与计算复杂性理论

已有 1843 次阅读 2015-6-6 00:07 |个人分类:不确定性问题和算法讨论|系统分类:科研笔记|关键词:P versus NP 计算复杂性理论 可计算性理论

我们一直在解读，“P versus NP”之所以成为“世纪难题”，失足于NP定义：NP＝Nondeterministic Polynomial time（不确定性多项式时间），遂有流行观念“NP是多项式时间可验证的”，与此相关，还有一个流行观念“NP是可计算的”。这些观念直接导致计算复杂性理论（Computational complexity theory）与可计算性理论（Computability theory）相分离，作为计算复杂性理论基础的NP完备理论（NP－completeness theory），就成了无源之水，无本之木！

于可计算性理论，按人们一般的理解，顾名思义是研究“可计算性”，即研究哪些问题是可计算的，然而，若追本溯源，可以看到，此理论的目的是通过“可计算性”，研究与之相对的“不可计算性”。“可计算性”概念源于古老的西方哲学问题：思维机械化，其中心议题是设想通过将思维表达成计算，来检验和消除认知错误，正如莱布尼茨所说：

－ 纠正我们推理的唯一方式是使它们同数学一样准确、明晰，这样我们能一眼看出我们的错误，并且在人们有争执的时候，可以简单的说，让我们计算「calculemus」，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。（The only way to rectify our reasonings is to make them as tangible as those of the Mathematicians, so that we can find our error at a glance, and when there are disputes among persons, we can simply say: Let us calculate [calculemus], without further ado, to see who is right.）

于20世纪初，希尔伯特正式提出了利用计算机彻底系统解决所有数学问题的计划，其中的希尔伯特第10问题，又称“丢番图方程问题”，即探究求解任意的丢番图方程的算法的存在性。然而，哥德尔几乎在同时提出了“哥德尔不完备定理”，证明了不存在着这样的算法，它能正确回答有关初等数论的全部问题。接着，图灵进一步提出普遍意义上的计算机模型－“图灵机”，严格证明了不存在这样的图灵机，一般性地表达为“判定问题（Decision Problem）”，由此形成了可计算性理论的核心内容。

于20世纪40年代，发明了基于冯·诺伊曼结构的实际计算机，计算机应用广泛开展起来，于实际应用中出现了一些计算困难的问题，“计算复杂性理论”于此创生。一般说来，计算复杂性理论研究“复杂性”，即研究那些计算困难问题的“复杂性”，库克（Cook）于1971年的那篇论文《The Complexity of Theorem Proving Procedures》，引入“Nondeterministic Turing machine（NDTM）”，将那些计算困难的问题定义为NP（Nondeterministic Polynomial time），由于NDTM的本质是图灵机（TM），遂有诸如“NP是多项式时间可验证的”、“NP是可计算的”的流行观念，其相关理论称之“NP完备理论”。

由此可见，原本NP的提出是针对计算困难的问题，与P相对，然而NP的流行观念混淆了NP与P的本质区别，导致NP的本质“不确定性”消失，是有计算复杂性理论与可计算性理论完全脱节，这是造成现有的NP完备理论严重困难的最根本性的原因。