凸包-Graham-Scan算法

（1）问题：

给定二维平面点集，求最小的包含所有点的凸多边形。

（2）Gramham-Scan算法：

Gramham-Scan是一种灵活的凸包算法，其总的时间复杂度仅为O(n*log(n))。

步骤：

Step1: 选定x坐标最小（相同情况y最小）的点作为极点，这个点必在凸包上；

Step2: 将其余点按极角排序，在极角相同的情况下比较与极点的距离，离极点比较近的优先；

Step3: 用一个栈S存储凸包上的点，先将按极角和极点排序最小的两个点入栈；

Step4: 按序扫描每个点，检查栈顶的两个元素与这个点构成的折线段是否“拐”向右侧（叉积小于等于零）；

Step5: 如果满足，则弹出栈顶元素，并返回Step4再次检查，直至不满足。将该点入栈，并对其余点不断执行此操作；

Step6: 最终栈中元素为凸包的顶点序列。

（3）模板（来自kuangbin模板）

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const double eps = 1e-8;
struct Point{
    double x, y;
};

const int MAXN = 1010;
Point list[MAXN];
int stack[MAXN], top;

/***
* 叉积
* a×b>0, 则b在a的逆时针方向；
* a×b<0, 则b在a的顺时针方向；
* a×b=0, 则a与b共线，但可能同向也可能反向。
*/
double crossProduct(Point a, Point b){
	return a.x*b.y - a.y*b.x;
}

int sgn(double x){
	if(fabs(x) < eps) return 0;
	if(x < 0) return -1;
	else return 1;
}

Point sub(Point a, Point b){
	Point p;
	p.x = a.x - b.x;
	p.y = a.y - b.y;
	return p;
}

double dist(Point a, Point b){
	return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

//相对于极点list[0]的极角排序
bool cmp(Point p1, Point p2){
    double temp  = crossProduct(sub(p1, list[0]), sub(p2, list[0]));
	if(sgn(temp)>0) return true;
	else if(sgn(temp)==0 && sgn(dist(p1, list[0])-dist(p2, list[0]))<=0) return true;
	else return false;
}

/*
* 求凸包，Graham算法
* 点的编号0~n-1
* 返回凸包结果Stack[0~top-1]为凸包的编号
*/
void Graham(int n){
    Point p0 = list[0];
    int k = 0;
    for(int i=1;ilist[i].y || (p0.y==list[i].y && p0.x>list[i].x)){
            p0 = list[i];
            k = i;
        }
    }
    swap(list[k], list[0]);
    sort(list+1, list+n, cmp);

	stack[0] = 0;
    if(n==1){top = 1; return;}
    stack[1] = 1;
    if(n==2){top = 2; return;}

	top = 2;
	for(int i=2;i1 && sgn(crossProduct(sub(list[stack[top-1]], list[stack[top-2]]), sub(list[i], list[stack[top-2]])))<=0){
			top--;
        }
        stack[top++] = i;
	}
}