计算几何总结
一、精度控制
计算几何经常牵扯到浮点数的运算,所以就会产生精度误差,因此我们需要设置一个eps(偏差值),一般取1e-7到1e-10之间,并用下面的函数控制精度。
const double eps=1e-8;
int dcmp(double x)
{
if (fabs(x)
二、向量
有大小有方向的量,又称为矢量。
二维的向量常用一个对数(x,y)表示,代码中常用一个结构体来实现向量
struct vector
{
double x,y;
vector (double X=0,double Y=0)
{
x=X,y=Y;
}
}
向量的模,即向量的长度
a=(x,y)
|a|=sqrt(x^2+y^2)
double len(vector a)
{
return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y)
}
二维平面中的点,同样可以用对数(x,y)来表示,所以向量的存储方式同样可以用于点
typedef vector point;
需要注意的是
(1)点加减向量为点
(2)点减点为向量
极角
对于向量a(x,y),可以用函数atan2(y,x)来计算他的极角
按照极角为关键字排序后的顺序为极角序
向量的四则运算
vector operator + (vector a,vector b) {return vector (a.x+b.x,a.y+b.y); }
vector operator - (vector a,vector b) {return vector (a.x-b.x,a.y-b.y);}
vector operator * (vector a,double p) {return vector (a.x*p,a.y*p);}
vector operator / (vector a.double p){return vector (a.x/p,a.y/p);}
a·b的几何意义为a在b上的投影长度乘以b的模长
a·b=|a||b|cosθ,其中θ为a,b之间的夹角
坐标表示
a=(x1,y1) b=(x2,y2)
a·b=x1*x2+y1*y2;
double dot(vector a,vector b)
{
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
点积的应用
(1)判断两个向量是否垂直 a⊥b <=> a·b=0
(2)求两个向量的夹角,点积<0为钝角,点积>0为锐角
double Angle(vector a,vector b)
{
return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b));
}
(3)求模长
double len(vector a)
{
return sqrt(dot(a,a));
}
法向量:与单位向量垂直的向量称为单位法向量
vector normal(vector a)
{
double l=len(a);
return vector (-a.y/l,a.x/l);
}
两个向量的叉积是一个标量,a×b的几何意义为他们所形成的平行四边形的有向面积
坐标表示a=(x1,y1) b=(x2,y2)
a×b=x1y2-x2y1
double cross(vector a,vector b)
{
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
直观理解,假如b在a的左边,则有向面积为正,假如在右边则为负。假如b,a共线,则叉积为0,。
所以叉积可以用来判断平行。
向量的旋转
a=(x,y)可以看成是x*(1,0)+y1*(0,1)
分别旋转两个单位向量,则变成x*(cosθ,sinθ)+y1*(-sinθ,cosθ)
三、点、直线、线段的关系
点到直线的距离
利用叉积求面积,然后除以平行四边形的底边长,得到平行四边形的高即点到直线的距离
double distl(point p,point a,point b)
{
vector v=p-a; vector u=b-a;
return fabs(cross(v,u))/len(u);
}
比点到直线的距离稍微复杂。因为是线段,所以如果平行四边形的高在区域之外的话就不合理,这时候需要计算点到距离较近的端点的距离
double dists(point p,point a,point b)
{
if (a==b) return len(p-a);
vector v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b;
if (dcmp(dot(v1,v2))<0) return len(v2);
else if (dcmp(dot(v1,v3))>0) return len(v3);
return fabs(cross(v1,v2))/len(v1);
}
跨立实验:判断一条线段的两端是否在另一条线段的两侧(两个端点与另一线段的叉积乘积为负)。需要正反判断两侧。
bool segment(point a,point b,point c,point d)
{
double c1=cross(b-a,c-a),c2=cross(b-a,d-a);
double d1=cross(d-c,a-c),d2=cross(d-c,b-c);
return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(d1)*dcmp(d2)<0;
}
有两种方法,比较常用的一种是用叉积的比值计算。但是这种方法的精度不是很高。
point glt(point a,point a1,point b,point b1)
{
vector v=a1-a; vector w=b1-b;
vector u=a-b;
double t=cross(w,u)/cross(v,w);
return a+v*t;
}
还有一种比较麻烦,不常用但是精度相对较好
point line_intersection(point a,point a0,point b,point b0)
{
double a1,b1,c1,a2,b2,c2;
a1 = a.y - a0.y;
b1 = a0.x - a.x;
c1 = cross(a,a0);
a2 = b.y - b0.y;
b2 = b0.x - b.x;
c2 = cross(b,b0);
double d = a1 * b2 - a2 * b1;
return point((b1 * c2 - b2 * c1) / d,(c1 * a2 - c2 * a1) / d);
}
射线法:以该点为起点引一条射线,与多边形的边界相交奇数次,说明在多边形的内部。
int pointin(point p,point* a,int n)
{
int wn=0,k,d1,d2;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (dcmp(dists(p,a[i],a[(i+1-1)%n+1]))==0) return -1;//判断点是否在多边形的边界上
k=dcmp(cross(a[(i+1-1)%n+1]-a[i],p-a[i]));
d1=dcmp(a[i].y-p.y);
d2=dcmp(a[(i+1-1)%n+1].y-p.y);
if (k>0&&d1<=0&&d2>0) wn++;
if (k<0&&d2<=0&&d1>0) wn--;
}
if (wn) return 1;
else return 0;
}
再多边形内取一个点进行三角剖分,用叉积求三角形的面积。因为叉积是有向面积,所以任意多边形都使用。
注意最后取绝对值。
double PolygonArea(Point* p,int n)
{
double area=0;
for(int i=1;i
void convexhull(point *p,int n,point *ch)
{
sort(p+1,p+n+1);
if (n==1){
ch[++m]=n;
return ;
}
m=1;
for (int i=1;i<=n;i++){
while (m>2&&dcmp(cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]))<=0) m--;
ch[m++]=p[i];
}
int k=m;
for (int i=n-1;i>=1;i--){
while (m>k&&dcmp(cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]))<=0) m--;
ch[m++]=p[i];
}
m--;
}
void cut(point a,point b)
{
point tmp[N];
int cnt=0;
for (int i=0;i
求凸包上最远点对的距离
被凸包上一对平行直线卡住的点对叫做对踵点,答案一定在对踵点上。
按照逆时针顺序枚举凸包上一条边,则凸包上到该边所在直线最远的点也单调逆时针旋转,相当于用一条直线卡对面一个顶点
double rotating_calipers(point* ch,int n)//旋转卡壳,被凸包上被一对平行直线卡住的点叫对踵点,最远点对一定在凸包的一对对踵点上
{
if (n==1) return 0;
if (n==2) return dot(ch[0]-ch[1],ch[0]-ch[1]);//如果只有两个点,那么就是两点的直线距离
int now=1,i;
double ans=0;
ch[n]=ch[0];
for (int i=0;i
求两凸包上的最近距离
double rotating_calipers(point* p,point* q,int n,int m)//利用旋转卡壳求两个凸包上最近点的距离,一个凸包上的平行线逆时针旋转,另一个凸包上的最远点也单调逆时针旋转,所以这个算法要正反进行两遍
{
int x=0; int y=0,i;
double ans=1e10,t;
for (int i=0;ip[y].y)?i:y;
p[n]=p[0]; q[m]=q[0];
for (int i=0;i
用最小的圆覆盖平面中的所有点。
point center(point a,point b,point c){
point p=(a+b)/2; point q=(a+c)/2;
vector v=rotate(b-a,pi/2); vector u=rotate(c-a,pi/2);
if (dcmp(cross(v,u))==0) {
if(dcmp(len(a-b)+len(b-c)-len(a-c))==0)
return (a+c)/2;
if(dcmp(len(a-c)+len(b-c)-len(a-b))==0)
return (a+b)/2;
if(dcmp(len(a-b)+len(a-c)-len(b-c))==0)
return (b+c)/2;
}
return glt(p,v,q,u);
}
double mincc(point *p,int n,point &c)
{
random_shuffle(p,p+n);
c=p[0];
double r=0;
int i,j,k;
for (i=1;i0){
c=p[i],r=0;
for (j=0;j0){
c=(p[i]+p[j])/2;
r=len(c-p[i]);
for (k=0;k0){
c=center(p[i],p[j],p[k]);
r=len(c-p[i]);
}
}
}
return r;
}