【LOJ 10064】黑暗城堡

【题目】

传送门

题目描述：

你知道黑暗城堡有 $n$ 个房间，$m$ 条可以制造的双向通道，以及每条通道的长度。

城堡是树形的并且满足下面的条件：

设 $d_i$ 为如果所有的通道都被修建，第 $i$ 号房间与第 $1$ 号房间的最短路径长度；

而 $s_i$ 为实际修建的树形城堡中第 $i$ 号房间与第 $1$ 号房间的路径长度；

要求对于所有整数 $i$（$1$ ≤ $i$ ≤ $n$），有 $s_i=d_i$ 成立。

你想知道有多少种不同的城堡修建方案。当然，你只需要输出答案对 $2^{31}-1$ 取模之后的结果就行了。

输入格式：

第一行为两个由空格隔开的整数 $n,m$；
第二行到第 $m+1$ 行为 $3$ 个由空格隔开的整数 $x,y,l$：表示 $x$ 号房间与 $y$ 号房间之间的通道长度为 $l$。

输出格式：

一个整数：不同的城堡修建方案数对 $2^{31}-1$ 取模之后的结果。

样例数据：

输入
4 6
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 1
2 4 2
3 4 1

输出
6

备注：

【样例说明】

一共有 $4$ 个房间，$6$ 条道路，其中 $1$ 号和 $2$ 号，$1$ 号和 $3$ 号，$1$ 号和 $4$ 号，$2$ 号和 $3$ 号，$2$ 号和 $4$ 号，$3$ 号和 $4$ 号房间之间的通道长度分别为 $1$，$2$，$3$，$1$，$2$，$1$。

而不同的城堡修建方案数对 $2^{31}-1$ 取模之后的结果为 $6$。

【数据范围与提示】

对于全部数据，$1$ ≤ $n$ ≤ $1000$，$1$ ≤ $m$ ≤ $\frac{n(n-1)}{2}$，$1$ ≤ $l$ ≤ $200$。

【分析】

我们要求的据说叫最短路径生成树

对于这道题，每个点的 $d_i$ 可以通过 $dijkstra$ 求出来，现在考虑如何计数

我们枚举每条边，对于一条边 $(i,j)$，如果 $d_i+w_{i,j}=d_j$，那这条边就可以被选，就 $++cn{t}_j$，代表可以到达 $j$ 的路径可以增加一条

那么最后根据乘法原理把所有（除 $1$）的 $cnt$ 乘起来就行了

【代码】

#include
#include
#include
#include
#define N 1005
#define M 2000005
#define Mod ((1ll<<31ll)-1)
using namespace std;
int n,m,t;
int v[M],w[M],nxt[M];
int d[N],cnt[N],first[N];
priority_queue<pair<int,int> >q;
void add(int x,int y,int z)
{
	t++;
	nxt[t]=first[x];
	first[x]=t;
	v[t]=y;
	w[t]=z;
}
void dijkstra()
{
	int x,y,i;
	memset(d,127/3,sizeof(d));
	q.push(make_pair(0,1));d[1]=0;
	while(!q.empty())
	{
		x=q.top().second;q.pop();
		for(i=first[x];i;i=nxt[i])
		{
			y=v[i];
			if(d[y]>d[x]+w[i])
			{
				d[y]=d[x]+w[i];
				q.push(make_pair(-d[y],y));
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int x,y,z,i,j;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	dijkstra();
	for(i=1;i<=n;++i)
	  for(j=first[i];j;j=nxt[j])
	    if(d[i]+w[j]==d[v[j]])
	      ++cnt[v[j]];
	int ans=1;
	for(i=2;i<=n;++i)
	  ans=1ll*ans*cnt[i]%Mod;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}