神奇的伽玛函数(上)

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http://www.flickering.cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B9%8B%E7%BE%8E/2014/06/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8A/

一、开篇

数学爱好者们汇集在网络论坛上的一大乐事就是对各类和数学相关的事物评头论足、论资排辈。如果要评选历史上最伟大的数学家，就会有一大堆的粉丝围绕高斯、黎曼、牛顿、欧拉、阿基米德等一流人物展开口水战；如果要讨论最奇妙的数学常数， e,π,ϕ=5√−12  肯定在候选队列中；如果要推举最美丽的数学公式，欧拉公式  eiπ+1=0  与和式  1+122+132+142+⋯=π26  常常被数学爱好者们提及；如果有人追问最神奇的数学函数是什么？ 这个问题自然又会变得极具争议，而我相信如下这个长相有点奇特的伽玛函数

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt

一定会出现在候选队列中。

伽玛函数不是初等函数，而是用积分形式定义的超越函数，怎么看都让人觉得不如初等函数自然亲切。然而伽玛函数也被称为阶乘函数，高等数学会告诉我们一个基本结论：伽玛函数是阶乘的推广。通过分部积分的方法，容易证明这个函数具有如下的递归性质

Γ(x+1)=xΓ(x)

由此可以推导出，对于任意的自然数 n

Γ(n)=(n−1)!.

由于伽玛函数在整个实数轴上都有定义，于是可以看做阶乘概念在实数集上的延拓。

如果我们继续再学习一些数学，就会惊奇地发现这个具有神秘气质的伽玛函数真是才华横溢。她栖身于现代数学的各个分支，在微积分、概率论、偏微分方程、组合数学， 甚至是看起来八竿子打不着的数论当中，都起着重要的作用。 并且这个函数绝非数学家们凭空臆想的一个抽象玩具，它具有极高的实用价值，频繁现身于在现代科学尤其是物理学之中。

笔者对数学的涉猎很有限，主要是从概率统计中频繁地接触和学习这个函数，不过这个函数多年来一直都让我心存疑惑：

• 都说 n!  和伽玛函数是近亲，可是从相貌上这两个数学公式都差了十万八千里，历史上数学家们是如何找到这个奇特的函数的？
•  现代数学对伽玛函数的定义使它满足  Γ(n)=(n−1)! ，既然号称是 n!  的推广，为何定义伽玛函数的时候不让它满足 Γ(n)=n! ？这看起来不是更加舒服自然吗？
•  伽玛函数是唯一满足阶乘特性的推广函数吗？
•  伽玛函数在各种概率分布的密度函数中频繁出现，伽玛函数本身是否有直观的概率解释？

带着这些疑问，笔者翻阅了许多讲解伽马函数历史和应用的资料，发现伽玛函数真是一个来自异族的美女，与生俱来携带着一种神秘的色彩。你要接近她并不难，然而她魅力独特，令你无法看透。从她出生开始，就吸引着众多一流的数学家对她进行解读。 历史上伽玛函数的发现，和数学家们对阶乘、插值以及积分的研究有着紧密的关系，而这最早要从著名的沃利斯公式讲起。

二、无心插柳 — 沃利斯公式

1655年, 英国数学家沃利斯(John Wallis, 1616-1703)写下了一个神奇的数学公式

21⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋅87⋅89⋅⋯=π2.(1)

π  居然可以如此齐整地表示成奇数、偶数的比值，着实令人惊讶。 历史上数学家们为了寻求对 π  这个迷人的常数更加深刻的理解，前赴后继倾注了无数的精力。数学家们发现， π  可以表达成许许多多奇妙的形式，而沃利斯公式是欧洲历史上发现的第二个把  π  表达成式了无穷序列的形式， 由于它简洁的对称美，也成为了许多数学人经常提及的数学公式之一。为何沃利斯公式会和伽玛函数发生联系呢？实际上对沃利斯公式做一下变形整理就可以得到如下等价形式

limn→∞(2n⋅n!)4[(2n)!]2(2n+1)=π2

我们看到了阶乘，所以沃利斯公式天然和阶乘有着紧密的联系。

沃利斯

我们先来欣赏一下沃利斯公式的证明。利用现代数学分析的知识证明这个公式并不难，通常微积分课本对这个公式的证明是从积分式

I(n)=∫π0sinnxdx

出发，通过分部积分得到一个关于 I(n)  的递推公式，反复使用这个递推公式就可以证明结论。 不过这个证明思路有点繁琐，数学家波利亚(George P\'{o}lya, 1887-1985) 在它的名著《数学与猜想》中提到了另外一个非常简洁、符合直觉，但是不够严格的证明思路，其中用到的最重要的公式是数学家欧拉(Leonhard Euler, 1707-1783)提供的。欧拉当年研究正弦函数  sinx  的时候，发现该函数有无穷多个零点  0,±π,±2π,±3π,⋯ 。 而一个多项式 f(x)  如果有零点  x1,x2,⋯,xn (此处 xi,xj  可以相同, 对应于有重根的情形), 那么  f(x)  一定可以表示为

f(x)=a0(x−x1)(x−x2)⋯(x−xn).

于是欧拉大胆地猜测  sinx  也具有多项式的这种性质，即

sinx=x∏n=1∞(1–x2n2π2)=x(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)⋯.(2)

理工科背景的学生大都学习过  sinx  的泰勒展开式， 通常只有数学背景的学生才会接触到这个  sinx  的无穷乘积展开式。这个展开式在数学推导中有许多妙用。数学史上它发挥的第一个重要作用，就是帮助欧拉推导出了如下美丽的公式

1+122+132+142+⋯=π26.

这个展开式子的另一个妙处就是可以用于证明沃利斯公式， 不过这个思路并非欧拉本人给出，而是后来的数学家发现的。 在 (2)  式中取  x=π2 , 可以得到

1=π2∏n=1∞(1–14n2)=π2∏n=1∞(2n−12n⋅2n+12n)

所以

π2=∏n=1∞(2n2n−1⋅2n2n+1)

上式就是沃利斯公式。之所以说以上的证明思路不够严格，是由于欧拉给的 sinx  无穷乘积展开式的严格证明并不简单，依赖于现代数学分析理论。

欣赏完沃利斯公式的证明，我们把镜头重新拉回到沃利斯生活的年代，要知道沃利斯给出这个公式是在 1655 年，那时候牛顿刚满13岁，莱布尼茨更小，欧拉还没出生，整个欧洲数学界对微积分的认识还停留在非常粗糙的阶段，对正弦函数  sinx  的认识也非常有限， 所以沃利斯当然不可能用上述的思路找到他的公式， 那沃利斯是如何发现这个  π  的无穷乘积表达式的呢？

在沃利斯的时代，微积分有了初步的进展，当时考虑的典型的问题就是求一个曲线和坐标轴围成的面积。欧洲的数学家们追寻阿基米德一千多年前开创的穷竭法，把曲线下的面积表达为求无穷多个矩形面积的和。当积分的思想在十七世纪开始逐步发酵的时候，沃利斯已经能够运用积分的思路处理一些简单曲线的面积。譬如，对于最简单的幂函数曲线  y=xn ，使用我们现在的数学记号， 沃利斯时代的数学家们获得了如下的结果

∫10xndx=1n+1,n=0,1,2,….

求圆弧下的面积

圆的面积一直是千百年来数学家们深入关心和研究的问题，很自然地沃利斯也想到了可以使用同样的思路来处理圆的面积。 不过数学家们早已经证明道圆的面积是  πr2 ，用积分的方法去计算圆的面积能带来什么好处呢？ 沃利斯在此做了一个逆向思维，他的真实目标并不是要计算圆的面积，而是冲着 π  去的。 沃利斯的一个漂亮的思路是：我们已经知道四分之一的单位圆圆弧  y=1−x2−−−−−−√(0≤x≤1)  和坐标轴围成的面积是  π4 , 如果这个面积能通过无穷分割的方法表达成一个解析表达式，那我们其实就可以得到计算  π  的一个解析表达式。

然而沃利斯在处理这个圆弧下地面积的时候遇到了困难。虽然基于无穷分割的方法可以得到

∫10(1−x2)1/2dx=limn→∞1n∑k=1n1−k2n2−−−−−−√

但是这个极限难以简化计算。 沃利斯天才的地方就是换了一个更一般的思路来处理这个问题：

•  考虑更一般的曲线面积问题
  Ap,q=∫10(1−x1p)qdx
  原来的问题变成了一个特例，就是计算  A12,12  ；
•  对 p,q  为整数的情况做计算，并系统地列成表格， 从表格中观察变化规律，总结出一般的公式；
•  把计算公式从 p,q 为整数的情形延拓、内插到分数的情形，从而计算出 A12,12 。

沃利斯对  p,q=1,2,…,10  做了计算， 发现 Ap,q  这个表格不太好看，改为倒数之后容易分析。于是取  Bp,q=1Ap,q , 列出表格一看， 居然恰好是帕斯卡三角形！ 这个三角形中的组合数已经是数学家们熟悉知的， 于是沃利斯很容易地得到

Bp,q=(p+q)!p!q!=1p!(q+1)(q+2)…(q+p),q=0,1,2…(3)

由上式进一步可以得到如下的递推公式

Bp,q=p+qqBp,q−1(4)

原始的问题就转化为计算  B12,12 。 由此开始， 沃利斯开始了他天才的推广：

•  虽然  (3)  和  (4) 是基于 p,q  为整数得到的， 但是沃利斯认为这个公式也应该适用于分数的情形；
•  由于原始表格是对称的， 沃利斯相信推广到分数之后的表格依然保持对称性。

基于对称性假设和计算式 (3) , 我们可以得到，

B12,1=B1,12=11!(12+1)=32

考虑  p=12  的情形, 重复使用迭代公式  (3) , 容易得到

B12,m=2m+12m⋅2m−12m−2…54⋅32

B12,m+12=2m+22m+1⋅2m2m−1…43⋅B12,12

由于  B12,q  是基于 q  递增的，所以有

B12,m−12<B12,m<B12,m+12

利用 (4)  式这个递推公式，马上可以得出上式两端有相同的极限

limm→∞B12,m+12=limm→∞2m+22m+1B12,m−12=limm→∞B12,m−12.

于是，利用两侧极限的夹逼，可以得到

limm→∞B12,m=limm→∞B12,m+12

即有

32⋅54⋅⋯⋅2m−12m−2⋅2m+12m⋯=B12,12⋅43⋅⋯⋅2m2m−1⋅2m+22m+1⋅⋯

所以

2B12,12=21⋅23⋅43⋅45⋅⋯⋅2m−22m−1⋅2m2m−1⋅2m2m+1⋅2m+22m+1⋅⋯

由于  2B12,12=2A12,12=π2 ,代入上式就得到了沃利斯公式  (1) 。

上述推导的基本思想是在沃利斯的名著《无穷分析》（Arithmetica Infinitorum，1655）中给出的。沃利斯公式对 π  的表示如此的奇特，以至于惠更斯第一次看见这个公式的时候根本不相信，直到有人给惠更斯展示了利用该公式对 π 做近似计算，才消除了惠更斯的疑惑。沃利斯是在牛顿之前英国最有影响力的数学家，他的这本书包含了现代微积分的先驱工作，给后来的数学家包括牛顿、斯特林、欧拉都产生了重要的影响。牛顿1642年在老家研读沃利斯的这本书的时候受到启发，从而把二项式定理从整数的情形推广到了分数的情形，这也是牛顿有生以来的第一个数学发现；而牛顿后续在微积分上的工作也同样受到了沃利斯的深刻影响。

回过头来我们观察一下沃利斯公式推导过程中使用的 (3)  式，这个组合公式中实际上包含了阶乘 p! 、  q! , 当沃利斯认为这个公式也适合于 p,q  为分数的情形的时候，隐含了一个假设是阶乘这个源自整数的概念是可以推广到分数的情形的。虽然沃利斯并没有显示地提出把阶乘推广到分数的问题， 沃利斯对一些特殊积分式的研究、沃利斯公式的结论以及推导过程却给后来的数学家们进一步研究阶乘提供了许多重要的线索，也为未来伽玛函数的发现埋下了一颗种子。

二、近似与插值的艺术

十七世纪中期，由于帕斯卡、费马、贝努利等数学家的推动，概率论以及与之相关的组合数学获得了很大的发展，阶乘的数值计算开始频繁的出现在数学家面前。 真正的开始对  n!  进行细致地研究并取得突破的，是数学家棣莫弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)和斯特林(James Stirling, 1692-1770)。

棣莫弗

棣莫弗从1721年开始考虑二项分布的概率计算问题，其中一个问题是：当 n→∞ 时，如何计算对称二项分布的中间项的概率

b(n,12,n2)=(nn2)(12)n=n!(n2)!⋅(n2)!(12)n.

上式中假设了 n 为偶数。棣莫弗经过一番复杂的推导计算，得到了如下的结果

b(n,12,n2)≈2.168(1–1n)nn−1−−−−−√≈2.168e−1n−−√.

1725年，斯特林得知了棣莫弗的研究问题和结果，这激起了他浓厚的兴趣。斯特林经过更细致的推导，得到了如下更加漂亮的结果

b(n,12,n2)≈2πn−−−√.

斯特林写信告知了棣莫弗他的推导结果，斯特林的结果中最引人注目的地方就是  π  的引入，这给棣莫弗很大的启发。 基于上述二项概率计算的研究，棣莫弗最终给出了如下重要公式

n!≈Cn−−√(ne)n

C  是一个常数。而在斯特林推导 b(n,12,n2)  过程中引入  π  的启发下， 1730 年棣莫弗利用沃利斯公式推导出了  C=2π−−√ ，也就是得到了斯特林公式

n!≈2πn−−−−√(ne)n.

所以现代数学史的研究大都认为斯特林公式的最主要贡献者是棣莫弗，斯特林的贡献主要在常数 C  的确定。 不过科学发展史中长期以来都存在一个被称之为 Stigler’s Law 的著名现象：绝大多数科学成果的冠名，大都不是历史上首位发现者的名字。或许这主要是由于早年通信不发达、信息传播成本太高导致的。如今互联网如此的发达，学术界任何重要的科研进展都可以快速传导到世界各地，这种问题发生的概率大大的降低了，类似牛顿、莱布尼茨这种微积分发明权的世纪争夺战不太可能在这个时代重现。

斯特林公式自发现以来，就吸引众多的数学家对它进行研究，提出了多种多样的证明方法。实际上，从沃利斯公式出发就可以证明斯特林公式，甚至可以进一步证明斯特林公式和沃利斯公式是完全等价的。在多种证明方法中，有一个基于概率论的证明思路：利用泊松分布的特性，再加上中心极限定理，我们可以简洁地推导出斯特林公式。

假设  X1,X2,…,Xn 独立同分布， 都是服从参数  λ=1  的泊松分布的随机变量，取  Sn=∑ni=1Xi , 则由泊松分布的可叠加性， 容易知道  Sn∼Poisson(n) , 于是由泊松分布的性质可知 Sn  的均值和方差都是  n , 利用中心极限定理可以得到

Zn=Sn–E(Sn)Var(Sn)−−−−−−−√=Sn–nn−−√→Z, Z∼N(0,1)

Z  为正态分布随机变量，密度函数为

f(z)=12π−−√e−z22.

所以，我们有如下推导

P{Sn=n}==≈=≈=P{n–1<Sn≤n}P{−1n−−√<Sn–nn−−√≤0}P{−1n−−√<Z≤0}∫0–1n√f(z)dzf(0)[0–(–1n−−√)]12πn−−−−√.

由于 Sn  符合参数 λ=n  的泊松分布，实际上有

P{Sn=n}=e–nnnn!.

综合以上推导可以得到

e–nnnn!≈12πn−−−−√.

上式稍微整理一下就得到斯特林公式。这个推导的思路看起来非常初等，但是由于中心极限定理的严格证明非常困难，所以不能被认为是一个严格的初等证明。不过该推导让我们从概率角度来理解斯特林公式，同时也解释了斯特林公式中的 π  ，是由于正态分布的引入导致的。

斯特林公式非常有用，通过它可以得出 n!  非常精确的估计值。虽然 n  足够大时绝对误差可以超过任何数，但是相对误差却很小，并且下降得非常快，甚至当  n  很小的时候，斯特林公式的逼近都相当精确。

不过，斯特林对于  n!  的研究实际上走得更远，而不是仅限于近似计算。追寻沃利斯和牛顿在插值方面的工作，斯特林一直研究各种数列的插值问题，通俗地说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合。例如数列  1,4,9,16,⋯  可以用通项公式  n2  自然的表达，即便  n  为实数，这个通项公式也是良定义的。直观地说就是可以找到一条通过所有整数点 (n,n2) 的平滑曲线 y=x2 ，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。再比如求和序列  1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5⋯ , 其通项公式可以写为  n(n+1)/2  ，这个公式也可以很容易地延拓到实数集合上。 斯特林很擅长于处理各种序列的插值问题，他在1730 年出版的一本书中描述了很多基于多阶差分处理序列插值的方法，这些方法主要源自牛顿。 斯特林处理插值的思路稍微有点复杂，我们不在此赘述，他的方法本质上类似于使用多项式曲线做插值。我们知道平面上两个点可以确定一条直线，三个点可以确定一条抛物线，…， n +1 个点可以确定一条 n 次多项式曲线。所以对于一个整数序列，如果我们无法直观地写出通项公式，为了计算某一个实数点对应的值，可以用该实数点周围的  n+1 个整数点去确定一条  n  次多项式曲线，从而可以基于拟合得到的多项式近似地计算实数点的值。

自然数的加法序列我们已经看到很容易做插值计算，对数学家们而言很自然的一个问题就是：自然数的乘法序列  1,1⋅2,1⋅2⋅3,1⋅2⋅3⋅4,1⋅2⋅3⋅4⋅5,⋯ 能否做插值计算？我们可以计算  2!,3! , 如何计算  (12)! 呢？斯特林在他的书中开始考虑阶乘序列 1!,2!,3!,4!,5!⋯  的插值问题。 如果我们把 (n,n!)  最初的一些点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

通过 (n,n!) 的曲线

但是 n! 这个数列增长的速度过快，数值计算非常困难，要做这个序列的插值计算可不容易。幸运的是当时对数已经被纳皮尔(John Napier, 1550-1617) 发明出来，并且在数值计算上显示了其神通，被科学家们广泛接受。斯特林和棣莫弗在他们的研究中大量的使用对数做计算，所以很自然地斯特林转而考虑对序列  log10n!  做插值计算。

通过插值方法并结合对数运算的技巧，斯特林计算出了  log10(1012)!=7.0755259056 , 由此可以得到  (1012)!=11899423.08 。斯特林接下来的处理非常有意思，由于原始的数列满足递归式  T(z)=z⋅T(z−1) ，所以斯特林基于插值的原则进行推理，认为被插值的中间项  (12)!,(112)!,(212)!⋯,   (912)!,(1012)!  也应该满足这个递归式, 于是有

(1012)!=1012⋅912⋅⋯⋅112⋅(12)!

上式中代入 (1012)! 的值，很容易计算得到

(12)!=0.8862269251.

这个结果看起来平淡无奇，然而斯特林天才地指出实际上有

(12)!=π−−√2.(5)

这真是一个令人惊诧的结果！

我们不太确定斯特林是如何推断出  (5)  式的，因为在斯特林的论述中他只是把  (12)! 计算的结果和  π√2  做了数值比较，并没有进行严谨的数学推导，所以看起来好像是数值对比�