组合数学笔记之二——“二项式系数”

二项式系数

8/10/2016 5:55:10 PM by 林维

1. Pascal公式

对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 kn,都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k).

pascal三角形 :

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到

  1. 对称关系: C(n ,k) = C(n, n - k);

  2. 二项式系数恒等式: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n;

  3. 在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数,k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n - 1) / 2 是所谓的三角形数, 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n - 1)(n - 2) / 3! 是所谓的四面体数。

可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。

2. 二项式定理

定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,

(x+y)n=xn+C(n,1)xn1y+C(n,2)xn2y2+...+C(n,n1)xyn1+C(n,n)yn
。用求和记号写出,即:
(x+y)n=C(n,k)xnkyk

二项式定理还有几种等价形式:
(x+y)n=C(n,nk)xnkyk
(x+y)n=C(n,nk)xkynk
(s+y)n=C(n,k)xkynk

定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有
(1+x)n=C(n,k)xk=C(n,nk)xk

3. 一些恒等式

  1. kC(n, k) = nC(n-1, k - 1) (n, k均为正整数) ;

  2. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n - 1) + C(n, n) = 2n (n ≥ 0) ;

  3. C(n, 0) - C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)nC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2n-1

  4. 1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2n-1

  5. C2(n, 0) + C2(n, 1) + C2(n, 2) + … + C2(n, n - 1) + C2(n, n) = C(2n, n)

  6. C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;

  7. C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);

4. 二项式系数的单峰性

令n是正整数,二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说

  1. n为偶数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);

  2. n为奇数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)

你可能感兴趣的:(组合数学-学习笔记)