二分查找(下)变体问题--数据结构和算法之美--CH16

1. 概述

不知道你有没有听过这样一个说法：“十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。 唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”
简单的二分查找很容易，但是对于二分查找的变体问题，就有些烧脑了，下面介绍几种典型的二分查找变体问题。

2. 二分查找变体问题

2.1 查找第一个值等于给定值的元素

代码实现如下：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}

这里重点看11，12行代码，如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那肯定是要找的值；如果 mid 不等于 0，但 a[mid] 的前一个元素 a[mid-1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 是要找的值。
如果检查之后发现 a[mid] 前面的一个元素 a[mid-1] 也等于 value，那说明此时的 a[mid] 肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在 [low, mid-1] 之间。

2.2 查找最后一个值等于给定值的元素

代码实现如下：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

这里分析，类似第一个问题。

2.3 查找第一个大于等于给定值的元素

代码实现如下：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

如果 a[mid] 小于 value，则查找的值在 [mid+1, high] 之间，所以，我们更新 low=mid+1。
a[mid] 大于等于 value，如果mid=0则前边已经没有元素或者前面元素小于 value，那 a[mid] 就是要找的元素。
如果 a[mid-1] 也大于等于value，则要查找的元素在 [low, mid-1] 之间，所以将high更新为 mid-1。

2.4 查找最后一个小于等于给定值的元素

public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

分析如第三个问题。

很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求完美、简洁的写法。而对于工程开发来说，代码易读懂、没 Bug，其实更重要。

3. 适用性分析

1. 凡是能用二分查找解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2. 求“值等于给定值”的二分查找确实不常用，但二分查找更适合用在”近似“查找问题上，比如上面讲几种变体。

一句话，二分查找在变体问题上才更加常用。

4. 问题解答

1. 如何快速定位出一个IP地址的归属地，假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？
   [202.102.133.0, 202.102.133.255] 山东东营市
   [202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
   [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
   [202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
   [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
   [202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

IP地址可以转化为32位整形数，然后将其排序，这样就转化为了第四个变形问题“在有序数组中查找最后一个小于等于某个给定值的元素”。
当要查询某个 IP 归属地时，以IP区间的起始值进行二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

2. 如果有一个有序循环数组，比如4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法？
   有三种方法查找循环有序数组：
   方法1： 找到分界下标，分成两个有序数组；判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找。
   由于遍历查找分界下标，因此时间复杂度位$O(n)$。
   方法2：1. 找到最大值的下标 x; 2. 所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模; 3. 利用偏移后的下标做二分查找；4. 如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。
   由于遍历查找分界下标，因此时间复杂度位$O(n)$。
   方法3：循环数组存在一个性质：以数组中间点为分区，会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。
   如果首元素小于 mid，说明前半部分是有序的，后半部分是循环有序数组；
   如果首元素大于 mid，说明后半部分是有序的，前半部分是循环有序的数组；
   如果目标元素在有序数组范围中，使用二分查找；
   如果目标元素在循环有序数组中，设定数组边界后，使用以上方法继续查找。
   时间复杂度位$O(logn)$