算法导论学习笔记（二） 初稿

3.1渐进记号

1. 适用范围

   • 算法的运行时间
   • 算法的其他方面（空间复杂性等）
   • 与算法无关的函数

2. 渐进紧确界

   • 常用g(n)表示
   • 表达式如下
     
     ∃ c1,c2∈Z,∀ n≥n0, 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)
   • f(n)=Θ(g(n))

3. 不同的记号

   • O（渐进上界）

     • 表达式如下
       
       ∃ c∈Z,∀ n≥n0, 0≤f(n)≤cg(n)
     • f(n)=O(g(n)) ⊆ f(n)=Θ(g(n))

   • Ω（渐进下界）

     • 表达式如下
       
       ∃ c∈Z,∀ n≥n0, 0≤cg(n)≤f(n)
     • 如果f(n)=O(g(n)) 且 f(n)=Ω(g(n)),则f(n)=Θ(g(n)).

   • o（非渐进紧确上界）
     

     • 表达式如下
       
       ∀ c>0,∃ n≥n0, 0≤cg(n)≤f(n)
     • 等价关系如下
       
       limn→+∞f(n)g(n)=0
       
       

     例如，2n= o(n2) , 但 2n2≠o(n2)

4. ω（非渐进紧确下界）

5. 等式中渐进记号的含义

   • 例如等式2n^2^ + 3n + 1 = 2n^2^ + Θ(n) ，其右边的θ(n)指代其集合中某个函数，通过这种方法，消除等式中无关紧要的细节；

   • 例如等式2n^2^ + Θ(n) = Θ(n^2^)，
     其含义为无论左边Θ(n)取集合中哪一个函数，Θ(n^2^)中总存在一个函数使得等式成立。即等式右边给出了一个更模糊的界限。

   • 匿名函数数目与渐进记号出现次数有关，与数学表达式含义无关，例如∑O(i) 不同于 O(1)+O(2)+O(3)+…，
     前者仅有一个匿名函数而后者有多个。

6. 渐进运算的性质

   • 传递性
   • 自反性
   • 对称性
   • 转置对称性：
     f(n)=O(g(n)) 当且仅当 g(n)=Ω(f(n))
     f(n)=o(g(n)) 当且仅当 g(n)=ω(f(n))
   • 三分性
     任意两个实数a,b,对于a < b,a = b,a > b三种情况，必然有一成立。且上述性质并不适用于所有函数，比如n和 n1+sinn 。

3.2重要公式

1. 斯特林近似公式
   

   n!=2πn−−−√ (n/e)n (1+Θ(1/n))⇒lg(n!)=Θ(nlgn)

2. 多重对数 ( lg∗n `)

   • 定义： lg∗n=min{i≥0|lg(i)n≤1}

   • i的增长异常缓慢
     lg∗2=1
     lg∗22=2
     lg∗24=3
     lg∗216=4

3. 多项式有界
   

   f(n)=O(nk)⇔lg(f(n))=O(lgn)