学习笔记——中国剩余定理（CRT）

CRT在算法竞赛中算是一个比较重要的模块，他的基本形式如下：
给出n个式子：

x≡a1 mod p1 x ≡ a 1   m o d   p 1

x≡a2 mod p2 x ≡ a 2   m o d   p 2

x≡a3 mod p3 x ≡ a 3   m o d   p 3

… …

x≡an mod pn x ≡ a n   m o d   p n

求x的最小正整数解。（pi互质）
那么如何求解x呢？
我们先考虑求解x的一个可行解 x0 x 0
因为同余的可加性，我们可以把 x0 x 0 拆成 x0=x1+x2+x3+…+xn x 0 = x 1 + x 2 + x 3 + … + x n ，每个 xi x i 对应的式子为：

xi≡ai mod pi x i ≡ a i   m o d   p i

对于不等于i的值j

xi≡0 mod pj x i ≡ 0   m o d   p j

再由于同余的可乘性，我们可以把x拆成 x=a1x1+a2x2+…+anxn x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n ，把式子改为：

xi≡1 mod pi x i ≡ 1   m o d   p i

然后我们观察每个 xi x i ：对于每个 xi x i 和不等于i的所有j，由于

xi≡0 mod pj x i ≡ 0   m o d   p j

设所有p的乘积为P，那么 xi x i 一定是 Ppi P p i 的倍数，那么我们可以把 xi x i 改为 g(Ppi)≡1 mod pi g ( P p i ) ≡ 1   m o d   p i ，通过这个式子可以看出g其实是 Ppi P p i 在模 pi p i 意义下的逆元， xi x i 就可以求出来， x0 x 0 也就求出来了， x0 x 0 的公式为：

x0=a1∗P1∗G1+a2∗P2∗G2+⋯+an∗Pn∗Gn x 0 = a 1 ∗ P 1 ∗ G 1 + a 2 ∗ P 2 ∗ G 2 + ⋯ + a n ∗ P n ∗ G n

其中 Pi P i 为 Ppi P p i ， Gi G i 为 Pi P i 在模 pi p i 意义下的逆元
x的所有解为 x=x0+tP（t∈Z） x = x 0 + t P （ t ∈ Z ）
需要注意的是这种方法只能用于p均为质数的情况下，如果p不是质数的话需要用其他方法，这不是CRT的内容，这里就不讲了，有兴趣的朋友可以去看看我前面写的一篇基础数论入门，那里面有所提及。

来道题练练手？
bzoj 1951-古代猪文
题目大意：
给出g,n,求 g∑d|nCdn g ∑ d | n C n d %999911659
Solution:
解决这个问题我们需要求出 ∑d|nCdn ∑ d | n C n d ，那么不妨设 x=∑d|nCdn x = ∑ d | n C n d
通过欧拉定理我们知道 gp−1≡1 mod p g p − 1 ≡ 1   m o d   p
所以说 gx≡gx%(p−1) mod p g x ≡ g x % ( p − 1 )   m o d   p
我们只需要求出 x%(p−1) x % ( p − 1 ) 即可，由于p-1不是一个质数，但是它可以分解成多个质数
( 999911658=2∗3∗4679∗35617 999911658 = 2 ∗ 3 ∗ 4679 ∗ 35617 )
那么这道题就可以用CRT了。

代码：

//999911658=2*3*4679*35617
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,g;
int md[4]={2,3,4679,35617};
int tot=999911658;
int ni[4][40000];
int mi[4][40000];
int nn=0;
int f[4];
int fast_pow(int x,int a,int mod)
{
    if (x==mod) return 0;//特判g^0=0(因为指数是取模取出来的)
    int ans=1;
    for (;a;a>>=1,x=1ll*x*x%mod)
    {
        if (a&1) ans=1ll*ans*x%mod;
    }
    return ans;
}
int C(int n,int m,int mod)
{
    if (n>m) return 0;
    if (nmod]&&mmod]) return 1ll*mi[mod][m]*ni[mod][n]*ni[mod][m-n]%md[mod];
    return C(n/md[mod],m/md[mod],mod)*C(n%md[mod],m%md[mod],mod)%md[mod];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&g);
    for (int j=0;j<4;j++)
    {
        mi[j][0]=1;
        for (int i=1;i1]*i)%md[j];
    }
    for (int j=0;j<4;j++)
    {
        ni[j][md[j]-1]=fast_pow(mi[j][md[j]-1],md[j]-2,md[j]);
        for (int i=md[j]-2;i>=1;i--)
        {
            ni[j][i]=ni[j][i+1]*(i+1)%md[j];
        }
        ni[j][0]=1;
    }
    //cout<
    int qn=sqrt(n);
    for (int i=1;i<=qn;i++)
    {
        if (n%i==0)
        {
            for (int j=0;j<4;j++)
            {
                f[j]=(f[j]+C(i,n,j))%md[j];
                if (n/i!=i)
                    f[j]=f[j]+C(n/i,n,j)%md[j];
            }
        }
    }

    int ans=0;
    for (int j=0;j<4;j++)
    {
        //cout<
        ans=(ans+(1ll*f[j]*(tot/md[j]))%tot*fast_pow(tot/md[j],md[j]-2,md[j])%tot)%tot;
    }
    printf("%d",fast_pow(g,ans,tot+1));
}