【NSOJ】K上升段 解题报告

问题描述：
对于n的一个全排列，如果它可以划分成k个单调递增序列，每个序列都尽可能最长，则称其为k上升段。例如：排列1 2 4 5 6 3 9 10 7 8是一个合法的3上升段，它可以划分成1 2 4 5 6;3 9 10;7 8这三个单调递增序列。对每个给定的(n,k)，请你给出n的所有k上升段的个数。

输入格式：
输入仅有1行，包含两个数n, k（1 < n < 20, 1 < k < n）。

输出格式：
输出n的所有k上升段的个数。

样例
输入：
3 2
输出：
4

 

 

虽然题目中说的是n的全排列，但实际上我们可以通过递推关系来求而不需要枚举全排列。

递推式如下：

F[i][j]=(i-j+1)*f[i-1][j-1]+j*f[i-1][j];(i<=n,j

其中i表示i的全排列，j表示划分的段数。

递推式由(i-j+1)*f[i-1][j-1]和j*f[i-1][j]两部分组成。

其中，(i-j+1)*f[i-1][j-1]表示当前状态由i-1的全排列划分为j-1段的数量，再在每一个子状态的没一个分段后插入一个i，一共可以插入（i-（j-1））个，

所以总和为（i-j+1）*f[i-1][j-1]个。

例如：

当一个子状态为|1||2||3|时可以向1或2或3后面插入一个4。所以当前子状态就有4种情况。

而j*f[i-1][j]就更简单了，当划分数量相同时而i少1时，可以向每个子状态的每一个划分段中插入一个i。一共就有j*f[i-1][j]个。

例如：

当一个子状态为|1||2,3||4|时，可以向|1|中或|2,3|中或|4|中插入一个i。

当前子状态就有3种情况。

关于赋初值的问题：

f[i][i]（0

 

AC 代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
long long f[25][25];//会炸int。 
int main()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j