容斥与反演总结

容斥和反演就是一个东西。

朴素容斥原理

|A1¯¯¯¯∩A2¯¯¯¯∩...∩An¯¯¯¯|=∑i=1N(−1)n−i∑|T|=i,T={x1,..,xi}|Ax1∩Ax2∩...∩Axi|

直接枚举所有子集计算。
例题： BZOJ4455

容斥的本质

坑待填。

反演的本质

就是有两个式子。

Gn=∑i=0nan,iFi

Fn=∑i=0nbn,iGi

把下式带入上式：

Gn=∑i=0nan,i∑j=0ibi,jGj

Gn=∑j=0nGj∑i=jnan,ibi,j

如果满足 ∑nj=ian,jbj,i=[n=i] ，那么这两个式子就可互相反演啦！

二项式反演

Gn=∑i=0n(ni)Fi⟺Gn=∑i=0n(−1)n−i(ni)Fi

它的本质就是：

∑j=in(nj)(−1)j−i(ji)=[n=i]

∑j=in(−1)j−i(ni)(n−ij−i)=[n=i]

用 d 替换 j−i

(ni)∑d=0n−i(−1)d(n−id)=[n=i]

(ni)[n−i=0]=[n=i]

得证。
例题： BZOJ3622

Stirling反演

把第一类Stirling数看成有符号的。

Gn=∑i=0n{ni}Fi⟺Fn=∑i=0n[ni]Gi

本质就是：

∑j=in{nj} [ji]=[n=i]

第一类Stirling数幂与下降幂的关系：

xk−=∑i=0k[ki]xi

第二类Stirling数幂与下降幂的关系：

xk=∑i=0k{ki}xi−

代入就好。
例题： BZOJ4617， Wearry出的神题

莫比乌斯反演

fn=∑d|ngd⟺gn=∑d|nμndfd

fn=∑i=1n[i|n]gi⟺gn=∑i=1n[i|n]μnifi

本质就是：

∑j=in[j|n][i|j]μji=[n=i]

用 d 替换 ji ：

∑d=1ni[d|ni]=[ni=1]

得证。

最值反演

又叫min-max容斥，感觉很神奇，其实很sb。

max{S}=∑T⊆S(−1)|T|−1min{T}

设最大值为 x∈S ，那么构造映射 f(T)→x∈T?T−x:T+x 。那么当 T 不为空和 {x} 时， T 与 f(T) 因为只相差一个最大值，最小值肯定相同，集合大小只相差 1 ，就抵消了，因为空集没有最小值，所以最后只剩下 {x} 的贡献。
套上期望还是蛮有用的： HDU4624

后记

听说把组合数和stirling数根据递推式往负方向推可以推出与之对偶的东西。。。