线性方程组基础解系的简便算法

线性方程组的求解是线性代数中的基本技能,而齐次线性方程组的基础解系的求法又是基础。本文给出一个计算齐次线性方程组的基础解系的公式,从而简化计算过程。

符号说明

  • n元线性方程组的矩阵形式:(1)齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0;(2)非齐次线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b;
  • 系数矩阵: A A A;
  • 增广矩阵: ( A b ) (Ab) (Ab);
  • 高斯消元法将系数矩阵化为最简形式:

A → ( E r F 0 0 ) A\rightarrow\begin{pmatrix}E_r & F \\ 0 & 0\end{pmatrix} A(Er0F0)

公式及用法

由行最简形 ( E r F 0 0 ) \begin{pmatrix}E_r & F \\ 0 & 0\end{pmatrix} (Er0F0),得到齐次方程组的解矩阵为

( − F E n − r ) \begin{pmatrix}-F \\ E_{n-r}\end{pmatrix} (FEnr)

例1 求解齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系,其中

A = ( 1 1 1 3 1 2 1 4 2 3 2 7 ) A=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1& 2&1&4\\2&3&2&7\end{pmatrix} A=112123112347

解:高斯消元法:

A = ( 1 1 1 3 1 2 1 4 2 3 2 7 ) → … 此 处 省 略 50 字 A=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1& 2&1&4\\2&3&2&7\end{pmatrix}\rightarrow \ldots 此处省略50字 A=11212311234750
→ ( 1 0 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 ) \rightarrow \begin{pmatrix}1&0&1&2\\0& 1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix} 100010100210

此处, F = ( 1 2 0 1 ) F=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} F=(1021),所以由上述解矩阵公式可得,

( − 1 − 2 0 − 1 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix}-1&-2\\0&-1\\1&0\\0&1\end{pmatrix} 10102101,

所以这个齐次方程组的基础解系为

( − 1 0 1 0 ) \begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix} 1010 ( − 2 − 1 0 1 ) \begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix} 2101.


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