线性方程组基础解系的简便算法

线性方程组的求解是线性代数中的基本技能，而齐次线性方程组的基础解系的求法又是基础。本文给出一个计算齐次线性方程组的基础解系的公式，从而简化计算过程。

符号说明

• n元线性方程组的矩阵形式：(1)齐次线性方程组$Ax=0$;（2）非齐次线性方程组$Ax=b$;
• 系数矩阵：$A$;
• 增广矩阵：$(Ab)$;
• 高斯消元法将系数矩阵化为最简形式：

$$A\to \left(\begin{array}{cc}{E}_r& F\\ 0& 0\end{array}\right)$$

公式及用法

由行最简形$\left(\begin{array}{cc}{E}_r& F\\ 0& 0\end{array}\right)$，得到齐次方程组的解矩阵为

$$\left(\begin{array}{c}-F\\ E_{n-r}\end{array}\right)$$

例1 求解齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系，其中

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& 2& 1& 4\\ 2& 3& 2& 7\end{array}\right)$

解：高斯消元法：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& 2& 1& 4\\ 2& 3& 2& 7\end{array}\right)\to \dots 此处省略50字$$
$$\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

此处，$F=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$,所以由上述解矩阵公式可得，

$\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& -1\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$,

所以这个齐次方程组的基础解系为

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$和$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

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