Eigen线性代数求解器（分解类）

1. 核心分解类概览

Eigen 提供多种矩阵分解方法，适用于不同矩阵类型（稠密/稀疏、正定/非正定等）：

分解类	适用矩阵类型	分解形式	典型应用场景
PartialPivLU	方阵（可逆）	A=PLUA=PLU	通用线性方程组求解
FullPivLU	任意矩阵	A=P−1LUQ−1A=P−1LUQ−1	高稳定性求解（计算成本高）
HouseholderQR	任意矩阵（列满秩）	A=QRA=QR	最小二乘问题（快速但不稳定）
ColPivHouseholderQR	任意矩阵	A=QRA=QR（列主元）	稳定的最小二乘解
FullPivHouseholderQR	任意矩阵	A=QRA=QR（完全主元）	高稳定性（计算成本最高）
LLT	正定矩阵	A=LLTA=LLT	Cholesky 分解（快速）
LDLT	半正定/正定矩阵	A=LDLTA=LDLT	带对角调整的 Cholesky

2. 通用方法与属性

所有分解类均继承自 Eigen::SolverBase，提供以下统一接口：

核心方法

方法	参数说明	返回值/功能	示例
compute(const MatrixType& A)	A: 待分解矩阵	无（更新分解状态）	lu.compute(A);
solve(const MatrixType& b)	b: 右侧矩阵/向量	解 Ax=bAx=b	VectorXf x = lu.solve(b);
matrixLU()	无	返回 LU 分解后的矩阵	MatrixXd LU = lu.matrixLU();
info()	无	返回计算状态（Success/NumericalIssue）	if (lu.info() != Success) { /* error */ }

属性

属性	说明
rows(), cols()	返回分解矩阵的行数/列数
rank()	返回矩阵的秩（仅 FullPiv* 类支持）

3. 各分解类详解

(1) PartialPivLU（部分主元 LU 分解）

• 适用场景：通用方阵求解（推荐默认使用）。

• 特有方法：

  cpp

  PermutationMatrix P = lu.permutationP();  // 返回排列矩阵 P
  MatrixXd L = lu.matrixLU().triangularView();  // 提取 L
  MatrixXd U = lu.matrixLU().triangularView();      // 提取 U

(2) HouseholderQR 与 ColPivHouseholderQR

• 区别：后者通过列主元提高稳定性，但稍慢。

• 特有方法：

  cpp

  MatrixXd Q = qr.householderQ();  // 获取 Q 矩阵（需显式计算）
  VectorXd hCoeffs = qr.hCoeffs(); // 返回 Householder 系数
  // 仅 ColPivHouseholderQR:
  PermutationMatrix P = qr.colsPermutation(); // 列排列矩阵

(3) LLT 与 LDLT（Cholesky 分解）

• 要求：矩阵必须正定（LLT）或半正定（LDLT）。

• 特有方法：

  cpp

  MatrixXd L = llt.matrixL();  // 获取下三角矩阵 L（LLT）
  VectorXd D = ldlt.vectorD(); // 获取对角矩阵 D（LDLT）

4. 稀疏矩阵分解类

类名	适用场景	关键方法
SimplicialLLT	稀疏正定矩阵	analyzePattern(), factorize()
SparseLU	通用稀疏方阵	solve() 支持多右手边
ConjugateGradient	稀疏对称正定矩阵（迭代）	setTolerance(), compute()

5. 代码示例

稠密矩阵求解

cpp

#include 
using namespace Eigen;

Matrix3f A;
Vector3f b;
A << 1, 2, 3, 
     4, 5, 6, 
     7, 8, 10;
b << 3, 3, 4;

// PartialPivLU 分解（推荐默认）
PartialPivLU lu(A);
Vector3f x = lu.solve(b);  // 解 Ax = b

// Cholesky 分解（正定矩阵）
LLT llt(A.transpose() * A);  // A^T A 正定
Vector3f y = llt.solve(A.transpose() * b);  // 解正规方程

稀疏矩阵求解

cpp

#include 
SparseMatrix mat(100, 100);
VectorXd b = VectorXd::Random(100);

// SimplicialLLT 分解
SimplicialLLT> solver;
solver.compute(mat);
VectorXd x = solver.solve(b);

6. 选择分解方法的准则

矩阵类型	推荐分解类	原因
通用稠密方阵	PartialPivLU	平衡速度与稳定性
最小二乘问题（非对称）	ColPivHouseholderQR	稳定性优于 HouseholderQR
正定稠密矩阵	LLT	最快（约 2 倍加速）
稀疏对称正定矩阵	SimplicialLLT	内存高效

注意事项

1. 分解重用：若矩阵不变，可先调用 compute(A) 再多次 solve(b) 提高效率。

2. 数值稳定性：对于病态矩阵，优先选择 FullPivLU 或 ColPivHouseholderQR。

3. 稀疏矩阵：分解前需调用 analyzePattern() 优化内存分配。

通过合理选择分解类，可以显著提升计算性能！更多细节见 Eigen 文档。