代码与算法集锦-归并排序+树状数组+快排+深度优先搜索+01背包（动态规划）

归并排序

求逆序数

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
首先考虑下如何将将二个有序数列合并。这个非常简单，只要从比较二个数列的第一个数，谁小就先取谁，取了后就在对应数列中删除这个数。然后再进行比较，如果有数列为空，那直接将另一个数列的数据依次取出即可。

//将有序数组a[]和b[]合并到c[]中
void MemeryArray(int a[], int n, int b[], int m, int c[])
{
    int i, j, k;

    i = j = k = 0;
    while (i < n && j < m)
    {
        if (a[i] < b[j])
            c[k++] = a[i++];
        else
            c[k++] = b[j++]; 
    }

    while (i < n)
        c[k++] = a[i++];

    while (j < m)
        c[k++] = b[j++];
}

可以看出合并有序数列的效率是比较高的，可以达到O(n)。
解决了上面的合并有序数列问题，再来看归并排序，其的基本思路就是将数组分成二组A，B，如果这二组组内的数据都是有序的，那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序了？
可以将A，B组各自再分成二组。依次类推，当分出来的小组只有一个数据时，可以认为这个小组组内已经达到了有序，然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数列，再合并数列就完成了归并排序。

public class GuiBingPaiXu {
    static int count;// 新增
    /*
     * 归并排序+逆序数
     * 
     * 与归并排序比较 增加了两行核心代码
     * 
     * 
     * 如果ia[j] 成为逆序数
     * 
     */

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        // int[] a = { 26,5,77,1,61,11,59,15,48,19 };
        // int[] a={4,3,6,5,1,2};
        int[] a = { 2, 4, 3, 1 };
        sop(a);
        Guibing(a, 0, a.length - 1);
        sop(a);
        System.out.println(count);
    }

    public static void sop(int[] arr) {
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.print(arr[i] + "\t");
        }
        System.out.println();
    }

    public static void Guibing(int[] n, int first, int last) {

        if (first < last) {
            int mid = (first + last) / 2;
            // 左边
            Guibing(n, first, mid);
            // 右边
            Guibing(n, mid + 1, last);
            // 左右归并
            Mes(n, first, mid, last);
        }
    }

    public static void Mes(int[] a, int first, int mid, int last) {
        int[] temp = new int[a.length];
        int i = first;
        int j = mid + 1;
        int m = mid, n = last;
        int k = 0;
        // 把较小的数先移到新数组中
        while (i <= m && j <= n) {
            if (a[i] <= a[j]) {

                temp[k++] = a[i++];
            } else {
                temp[k++] = a[j++];
                count += mid - i + 1;// 逆序数 核心代码
            }

        }
        // 把左边剩余的数先移到新数组中
        while (i <= m) {
            temp[k++] = a[i++];
        }
        // 把右边剩余的数移到新数组中
        while (j <= m) {
            temp[k++] = a[j++];

        }
        // 把新数组中的元素 覆盖到 a数组中
        for (int p = 0; p < k; p++) {
            a[first + p] = temp[p];
        }
    }

}

树状数组

一、树状数组是干什么的？

平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了，这个学过数学的都知道吧，不需要我说了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最后自然就懂了。

二、树状数组怎么干的？

先看两幅图（网上找的，如果雷同，不要大惊小怪～），下面的说明都是基于这两幅图的，左边的叫A图吧，右边的叫B图：

  是不是很像一颗树？对，这就是为什么叫树状数组了～先看A图，a数组就是我们要维护和查询的数组，但是其实我们整个过程中根本用不到a数组，你可以把它当作一个摆设！c数组才是我们全程关心和操纵的重心。
  先由图来看看c数组的规则，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必纠结怎么做到的，我们只要知道c数组的大致规则即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6却是表示a5～a6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被lg了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的c4，右半边其实也是同样的规则把a5～a8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分，可以看看B图。怎么样？是不是有点二分的味道了？对，说白了树状数组就是巧妙的利用了二分，她并不神秘，关键是她的巧妙！
  她又是怎样做到不断的一分为二呢？说这个之前我先说个叫lowbit的东西，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，介于这个lowbit在下面会经常用到，这里给一个非常方便的实现方式，比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，继续下面。介于下面讨论十进制已经没有意义（这个世界本来就是二进制的，人非要主观的构建一个十进制），下面所有的数没有特别说明都当作二进制。
  上面那么多文字说lowbit，还没说它的用处呢，它就是为了联系a数组和c数组的！ck表示从ak开始往左连续求lowbit(k)个数的和，比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从110开始计算了0010个数的和，因为lowbit(0110)=0010，可以看到其实只有低位的1起作用，因为很显然可以写出c[0010]=a[0010]+a[0001]，这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit，因为高位不起作用（基于我们的二分规则它必须如此！），除非除了高位其余位都是0，这时本身就是lowbit。
  既然关系建立好了，看看如何实现a某一个位置数据跟改的，她不会直接改的（开始就说了，a根本不存在），她每次改其实都要维护c数组应有的性质，因为后面求和要用到。而维护也很简单，比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，这是很容易从图上看出来的，但是你可能会问，他们之间有申明必然联系吗？每次求解总不能总要拿图来看吧？其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，又是自己造的词–”，我来解释下，就是把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k +=lowbit(k)。

private static int lowbit(int x) {
        // TODO Auto-generated method stub
        return x & -x;
    }

  好吧，现在更新的次序都有了，可能又会产生新的疑问了：为什么它非要是这种关系啊？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。
  可能上面说的你比较绕了，那么此时你只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。此时我们就写出跟新维护树的代码：

    public static void update(int t, int x) {
        for (int i = t; i < a + 1; i += lowbit(i)) {
            treearray[i] += x;
        }
    }

  求区间和

public static int getSum(int x) {
        int temp = 0;
        for (int j = x; j >= 1; j -= lowbit(j)) {
            temp += treearray[j];
        }
        return temp;
    }

树状数组求逆序数

以蓝桥杯小朋友排队为例：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int m;
    static int[] aa;
    static int[] bit;
    static int[] hh;

    public static void main(String args[]) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int huhu = sc.nextInt();
        m = huhu + 1;
        aa = new int[m];
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            aa[i] = sc.nextInt();
        }
        //离散化操作这里没有进行离散化操作 小白在这里 还不懂离散化操作 求大神指教  联系 QQ：189281351

        bit = new int[m];
        hh = new int[m];
        aa[0] = huhu;
        sop(aa);
        for (int i = 1; i < aa.length; i++) {
            update(aa[i], 1);
            hh[i] = i - getSum(aa[i]);//求左侧逆序数
        }
        System.out.println();
        System.out.println("左侧的逆序数");
        sop(hh);
        //sop(bit);

        bit=new int[m];//bit数组为过度，这句代码 是为了清零 bit数组，为了在下面的代码里面求 右侧的逆序数 数量 更准确！
        //sop(bit);
        for (int i = huhu; i >= 1; i--) {
            update(aa[i], 1);
            hh[i]=getSum(aa[i]-1);//求右侧逆序数
        }

        System.out.println("右侧的逆序数");
        sop(hh);
    }

    public static void update(int t, int x) {
        for (int i = t; i < m; i += lowbit(i)) {
            bit[i] += x;
        }
    }

    private static int lowbit(int x) {
        // TODO Auto-generated method stub
        return x & (-x);
    }

    public static int getSum(int x) {
        int temp = 0;
        for (int j = x; j >= 1; j -= lowbit(j)) {
            temp += bit[j];
            //sop(bit);
        }
        return temp;
    }

    public static void sop(int[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            System.out.print(a[i] + "\t");
        }
        System.out.println();
    }

}

快速排序

  快速排序由于排序效率在同为O(N*logN)的几种排序方法中效率较高，因此经常被采用，再加上快速排序思想—-分治法也确实实用，因此很多软件公司的笔试面试，包括像腾讯，微软等知名IT公司都喜欢考这个，还有大大小的程序方面的考试如软考，考研中也常常出现快速排序的身影。
总的说来，要直接默写出快速排序还是有一定难度的，因为本人就自己的理解对快速排序作了下白话解释，希望对大家理解有帮助，达到快速排序，快速搞定。

  快速排序是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换排序。它采用了一种分治的策略，通常称其为分治法(Divide-and-ConquerMethod)。
该方法的基本思想是：

1. 先从数列中取出一个数作为基准数。
2. 分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
3. 再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

  虽然快速排序称为分治法，但分治法这三个字显然无法很好的概括快速排序的全部步骤。因此我的对快速排序作了进一步的说明：挖坑填数+分治法：
先来看实例吧，定义下面再给出（最好能用自己的话来总结定义，这样对实现代码会有帮助）。

以一个数组作为示例，取区间第一个数为基准数。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
72	6	57	88	60	42	83	73	48	85

  初始时，i = 0; j = 9; X = a[i] = 72
由于已经将a[0]中的数保存到X中，可以理解成在数组a[0]上挖了个坑，可以将其它数据填充到这来。
从j开始向前找一个比X小或等于X的数。当j=8，符合条件，将a[8]挖出再填到上一个坑a[0]中。a[0]=a[8]; i++; 这样一个坑a[0]就被搞定了，但又形成了一个新坑a[8]，这怎么办了？简单，再找数字来填a[8]这个坑。这次从i开始向后找一个大于X的数，当i=3，符合条件，将a[3]挖出再填到上一个坑中a[8]=a[3]; j–;

数组变为：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
48	6	57	88	60	42	83	73	88	85

   i = 3; j = 7; X=72
再重复上面的步骤，先从后向前找，再从前向后找。
从j开始向前找，当j=5，符合条件，将a[5]挖出填到上一个坑中，a[3] = a[5]; i++;
从i开始向后找，当i=5时，由于i==j退出。
此时，i = j = 5，而a[5]刚好又是上次挖的坑，因此将X填入a[5]。
数组变为：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
48	6	57	42	60	72	83	73	88	85

  可以看出a[5]前面的数字都小于它，a[5]后面的数字都大于它。因此再对a[0…4]和a[6…9]这二个子区间重复上述步骤就可以了。

对挖坑填数进行总结

1. i =L; j = R; 将基准数挖出形成第一个坑a[i]。
2. j–由后向前找比它小的数，找到后挖出此数填前一个坑a[i]中。
3. i++由前向后找比它大的数，找到后也挖出此数填到前一个坑a[j]中。
4. 再重复执行2，3二步，直到i==j，将基准数填入a[i]中。

照着这个总结很容易实现挖坑填数的代码：

/*
 * 快速排序，快速搞定。

快速排序是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换排序。它采用了一种分治的策略，通常称其为分治法(Divide-and-ConquerMethod)。
该方法的基本思想是：
1．先从数列中取出一个数作为基准数。
2．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
3．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。
 */
public class quick_sort {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] n = new int[] { 25, 12, 36, 45, 2, 9, 39, 22, 98, 37 };
        int l = 0;
        int r=n.length-1;
        quicke(n,l,r);
        sop(n);
    }

    private static void quicke(int[] n, int l, int r) {
        // TODO Auto-generated method stub
        if (l < r) {
            int i=l,j=r,x=n[l];
            while(i < j)
            {
                while(i=x)//从右向左找第一个小于x的数
                    j--;
                if (i < j) 
                    n[i++]=n[j];

                while(i

DFS实现全排列

DFS深度优先搜索思想

不撞南墙不回头

import java.util.Scanner;

public class quanpailie_sousuo {
    static int[] book;// 计数器
    static int[] a;// 盒子
    static int n;

    public static void main(String args[]) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
         a = new int[10];
         book = new int[10];
        n = sc.nextInt();
        dfs(1);
    }

    private static void dfs(int step) {
        // TODO Auto-generated method stub
        if (step == n + 1) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                System.out.print(a[i]);
            }
            System.out.println();
            return;// 返回之前的一步，最近一次调用dfs函数的地方
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (book[i] == 0) {// book[i]=0表示i号扑克牌仍然在手上
                a[step] = i;// 将i号扑克牌放入第step个盒子中
                book[i] = 1;// 将book[i]设为1 ， 表示 i 号 扑克牌 已经不在手上了

                dfs(step + 1);// 递归调用
                book[i] = 0;// 这是非常重要的一步，一定要将刚才尝试的扑克收回，才能进行下一次尝试
            }
        }
    }
}

  这个简单的例子，核心代码不超过20行，却饱含深度优先搜索的基本模型。理解深度优先搜索的关键在于解决“当下该如何做”。至于“下一步如何做”则与“当下该如何做”是一样的。比如我们这里写的dfs函数的主要功能就是解决你在第step个盒子的时候你该怎么办。通常的方法就是把每一种可能都去尝试一遍（一般用for循环来遍历）。当前这一步解决后便进去下一步dfs（step+1）。下一步的解决方法和当前这一步的解决方法是完全一样的，下面的代码就是深度优先搜索的基本模型。

public static void dfs(int step)
{   
    判断边界
    尝试每一种可能 for(i=1;i<= n;i++)
    {   
        继续下一步 dfs(step+1);
    }
    返回
}

DFS走迷宫最短路径

迷宫由n行m列的单元格组成（n和m都小于等于50），每个单元格要么是空地，要么是障碍物，从起点到指定位置的最短路径，注意障碍物是不能走的。

import java.util.Scanner;

public class migong {
    static int p;//终点x坐标
    static int q;//终点y坐标
    static int startx;//起点x坐标
    static int starty;//起点y左边
    static int[][] book;//标记数组，用来记录是否已经访问过该坐标
    static int n;
    static int m;
    static int[][] a;
    static int min  = 99999999 ;
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        a = new int[51][51];
        book=new int[51][51];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {//读入数组,舍弃0行0列 角标，从第一行第一列角标开始 读入数组中
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                a[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
        //sop(a, m, n);
        startx=sc.nextInt();
        starty=sc.nextInt();
        p = sc.nextInt();
        q = sc.nextInt();
        book[startx][starty]=1;//初始化起点为1，表示已经访问过了。
        dfs(startx,starty,0);
        System.out.println(min);
    }

    private static void dfs(int x, int y , int step) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[][] next=new int[][]{//用数组判断方向
            {0,1},//向右
            {1,0},//向下
            {0,-1},//向左
            {-1,0},//向上
        };

        if (x == p && y == q) {//判断是否已经找到终点
            if (step < min) 
                min =step;
            return;
        }
        int tx,ty;
        //枚举四种走法
        for (int k = 0; k <= 3; k++) {
            //计算下一个点的坐标
            tx=x+next[k][0];
            ty=y+next[k][1];
            //判断是否越界
            if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 ||ty > m) {

                continue ;
            }
            if (a[tx][ty] == 0 && book[tx][ty] ==0) {
                book[tx][ty]=1;
                dfs(tx, ty, step+1);
                book[tx][ty]=0;
            }
        }

    }

    public static void sop(int[][] a, int n, int m) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                System.out.print(a[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

}

动态规划

  一直没理解动态规划，那就从它的定义看，帮助自己理解。
下面摘自百度百科，知道前因后果就容易理解哪些属于动态规划了。

  
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。

  
分类:
动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。
举例:
线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等
区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等
背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（同济ACM第1132题）等

  
概念意义:
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。

  
基本结构：
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。

  
基本模型:
多阶段决策过程的最优化问题。含有递推的思想以及各种数学原理（加法原理，乘法原理等等）。
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。

  
它包含了以下几种基本模型：
(1)确定问题的决策对象。
(2)对决策过程划分阶段。 (3)对各阶段确定状态变量。 (4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。 (5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。

  
状态转移方程的一般形式：

  
一般形式： U：状态； X：策略
　　

  顺推：f[Uk]=opt{f[Uk-1]+L[Uk-1,Xk-1]} 其中， L[Uk-1,Xk-1]： 状态Uk-1通过策略Xk-1到达状态Uk 的费用 初始f[U1]；结果：f[Un]。

  倒推：
　　

  f[Uk]=opt{f[Uk+1]+L[Uk,Xk]}
　　

  L[Uk,Xk]： 状态Uk通过策略Xk到达状态Uk+1 的费用
　　

  初始f[Un]；结果：f(U1)

  解决的常见的问题：
在编程中常用解决最长公共子序列问题、矩阵连乘问题、凸多边形最优三角剖分问题、电路布线等问题

01背包问题

import java.util.Scanner;

public class Main {
static int[] weight = new int[] { 0, 2, 2, 6, 5, 4 };// 每个物品的重量
static int[] value = new int[] { 0, 6, 3, 5, 4, 6 };// 每个物品的价值
// static int[][] values;// 存放价值
static int maxweight;// 背包的最大承重

public static void main(String[] args) {
    // TODO Auto-generated method stub
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    maxweight = sc.nextInt();
    int[][] values = new int[value.length][maxweight + 1];
    for (int i = 0; i < value.length; i++) {
        values[i][0] = 0;
    }
    for (int i = 0; i <= maxweight; i++) {
        values[0][i] = 0;
    }
     for ( int i = 1; i <= 5; i++){  
            for ( int j = 1; j<=maxweight; j++){  
                if(weight[i]>j){  
                    values[i][j]=values[i-1][j];  
                }else {  
                    values[i][j]=Math.max(values[i-1][j-weight[i]]+value[i], values[i-1][j]);  
                }  
            }  
        } 
}

}

另一个动态规划的例子

//最大子段和的问题，用动态规划。
/*给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组，使得此子数组的和sum 最大，其中 i>=0 ,
 * i=i,jmaxsofar) {
                    maxsofar=sum;
                }
            }
        }
        System.out.print("带记忆的递推法");
        System.out.println(maxsofar);

    }

    private static void first(int[] array) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int b=0,sum=-10000000;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            if (b > 0) {
                b+=array[i];
            }else {
                b=array[i];
            }
            if (b > sum) {
                sum = b;
            }
        }
        System.out.print("DP");
        System.out.println(sum);
    }
}