标准化互信息NMI计算步骤及其Python实现

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标准化互信息NMI计算步骤及其Python实现

标准化互信息NMI具体定义可以参考另一篇博客：
https://smj2284672469.github.io/2017/10/27/community-detection-measures/#more
本文介绍其计算步骤和代码实现

假设对于17个样本点 (v1,v2,...,v17) 进行聚类：

某一种算法得到聚类结果为：

A=[1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 3 3 3]

标准的聚类结果为：

B=[1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3]

问题：需要度量算法结果与标准结果之间的相似度，如果结果越相似NMI值应接近1；如果算法结果很差则NMI值接近0。

根据公式计算MI的值其中X=unique(A)=[1 2 3] , Y=unique(B)=[1 2 3]：

MI(X,Y)=∑i=1|X|∑j=1|Y|P(i,j)log(P(i,j)P(i)P′(j))

首先计算上式分子中联合概率分布 P(i,j)=|Xi∩Yj|N

P(1,1)=5/17,P(1,2)=1/17,P(1,3)=2/17

P(2,1)=1/17,P(2,2)=4/17,P(2,3)=0

P(3,1)=0,P(3,2)=1/17,P(3,3)=3/17

再计算分母中概率函数 P(i)=Xi/N ， P(i) 为 i 的概率分布函数， P′(j) 为 j 的概率分布函数：

对于 P(i) ：

P(1)=8/17,P(2)=5/17,p(3)=4/17

对于 P(j) ：

P′(1)=6/17,P′(2)=6/17,P′(3)=5/17

根据以上计算可以计算出MI的值。

至于标准化互信息使用第二个公式计算：

NMI(X,Y)=2MI(X,Y)H(X)+H(Y)

上式分母中 H(X),H(Y) 分别为 X,Y 的熵：

H(X)=−∑i=1|X|P(i)log(P(i));H(Y)=−∑j=1|Y|P′(j)log(P′(j))

对于上面的例子，根据公式计算熵如下：

H(X)=P(1)log2(P(1))+P(2)log2(P(2))+P(3)log2(P(3))

H(Y)=P′(1)log2(P′(1))+P′(2)log2(P′(2))+P′(3)log2(P′(3))

综上则可以计算出NMI的值。

代码实现以上计算过程：

• 可以直接调用scikit-learn包中集成的度量函数
• 自己编写函数实现计算过程

Python代码实现如下(包含上述两种方式)：

# -*- coding:utf-8 -*-
'''
Created on 2017年10月28日

@summary: 利用Python实现NMI计算

@author: dreamhome
'''
import math
import numpy as np
from sklearn import metrics
def NMI(A,B):
    #样本点数
    total = len(A)
    A_ids = set(A)
    B_ids = set(B)
    #互信息计算
    MI = 0
    eps = 1.4e-45
    for idA in A_ids:
        for idB in B_ids:
            idAOccur = np.where(A==idA)
            idBOccur = np.where(B==idB)
            idABOccur = np.intersect1d(idAOccur,idBOccur)
            px = 1.0*len(idAOccur[0])/total
            py = 1.0*len(idBOccur[0])/total
            pxy = 1.0*len(idABOccur)/total
            MI = MI + pxy*math.log(pxy/(px*py)+eps,2)
    # 标准化互信息
    Hx = 0
    for idA in A_ids:
        idAOccurCount = 1.0*len(np.where(A==idA)[0])
        Hx = Hx - (idAOccurCount/total)*math.log(idAOccurCount/total+eps,2)
    Hy = 0
    for idB in B_ids:
        idBOccurCount = 1.0*len(np.where(B==idB)[0])
        Hy = Hy - (idBOccurCount/total)*math.log(idBOccurCount/total+eps,2)
    MIhat = 2.0*MI/(Hx+Hy)
    return MIhat

if __name__ == '__main__':
    A = np.array([1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3])
    B = np.array([1,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,1,1,3,3,3])
    print NMI(A,B)
    print metrics.normalized_mutual_info_score(A,B)