BZOJ4820 Sdoi2017 硬币游戏 【概率期望】【高斯消元】【KMP】*

BZOJ4820 Sdoi2017 硬币游戏

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Description

周末同学们非常无聊，有人提议，咱们扔硬币玩吧，谁扔的硬币正面次数多谁胜利。大家纷纷觉得这个游戏非常符合同学们的特色，但只是扔硬币实在是太单调了。同学们觉得要加强趣味性，所以要找一个同学扔很多很多次硬币，其他同学记录下正反面情况。用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，扔很多次硬币后，会得到一个硬币序列。比如HTT表示第一次正面朝上，后两次反面朝上。但扔到什么时候停止呢？大家提议，选出n个同学，每个同学猜一个长度为m的序列，当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时，就不再扔硬币了，并且这个同学胜利，为了保证只有一个同学胜利，同学们猜的n个序列两两不同。很快，n个同学猜好序列，然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节。你想知道，如果硬币正反面朝上的概率相同，每个同学胜利的概率是多少。

Input

第一行两个整数n,m。
接下里n行，每行一个长度为m的字符串，表示第i个同学猜的序列。
1<=n,m<=300

Output

输出n行，第i行表示第i个同学胜利的概率。
输出与标准输出的绝对误差不超过10^-6即视为正确。

Sample Input

3 3
THT
TTH
HTT

Sample Output

0.3333333333
0.2500000000
0.4166666667

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乍一看这题挺开心(懵逼)的
这是什么期望题？
期望最先出现的子串？
其实就是一个长度为m的后缀看看出现每个串的概率是啥
首先除了这个长度是m的后缀前面都不重要了
所以我们只考虑一下长度小于m的部分
假设现在有一个状态TAX，有两个目标串XPM和AXP
如果想从TAX转移到XPM发现经过了AXP这个状态
那么XPM就不是第一次出现了
我们发现会出现这种情况会出现这种情况当且仅当XPM的一个前缀和AXP的一个后缀长度相等
所以我们令 xi x i 是i先出现的概率，再不出现任何其他串的情况下出现i的概率是 12m 1 2 m ，然后考虑从其他串的概率转移过来
定义 trans(p,i) t r a n s ( p , i ) 是可以从p的某个前缀转移到i的某个后缀的概率
那么 trans(p,i)=∑k12m−k∗xp(p长度为k的前缀是i长度为k的后缀) t r a n s ( p , i ) = ∑ k 1 2 m − k ∗ x p ( p 长 度 为 k 的 前 缀 是 i 长 度 为 k 的 后 缀 )

所以我们可以发现 xi=12m−∑ptrans(i,p) x i = 1 2 m − ∑ p t r a n s ( i , p )
然后移一下项发现 xi+∑ptrans(i,p)=12m x i + ∑ p t r a n s ( i , p ) = 1 2 m
又因为 x1+x2+.....+xn=1 x 1 + x 2 + . . . . . + x n = 1
所以我们可以建立方程进行高斯消元了
最后解出来就是每个的概率

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#include
using namespace std;
#define N 310
#define eps 1e-3
#define For(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
int n,m;
double g[N][N];
void guass(){
    For(i,1,n){
        int p=i;
        For(j,i,n)if(abs(g[j][i])>abs(g[p][i]))p=j;
        For(j,1,n+1)swap(g[p][j],g[i][j]);
        double d=g[i][i];
        For(j,1,n+1)g[i][j]/=d;
        For(j,1,n){
            if(i==j)continue;
            double w=g[j][i];
            For(k,1,n+1)g[j][k]-=g[i][k]*w;
        }
    }
    For(i,1,n-1)printf("%.10lf\n",g[i][n+1]);
}
int fail[N][N];
int s[N][N];
double p[N];
void init(int id){
    For(i,2,m){
        int j=fail[id][i-1];
        while(j&&s[id][i]!=s[id][j+1])j=fail[id][j];
        if(s[id][i]==s[id][j+1])fail[id][i]=j+1;
        else fail[id][i]=0;
    }
}
double kmp(int ida,int idb){
    int j=0;
    For(i,1,m){
        while(j&&s[idb][i]!=s[ida][j+1])j=fail[ida][j];
        if(s[idb][i]==s[ida][j+1])++j;
    }
    double res=0;
    while(j){
        res+=p[m-j];
        j=fail[ida][j];
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    p[0]=1;For(i,1,m)p[i]=p[i-1]*0.5;
    For(i,1,n){
        static char c[N];
        scanf("%s",c+1);
        For(j,1,m)
            if(c[j]=='H')s[i][j]=1;
            else s[i][j]=0;
        init(i);
    }
    For(i,1,n)For(j,1,n)g[i][j]=kmp(i,j);
    For(i,1,n)g[i][n+1]=-p[m];
    For(i,1,n)g[n+1][i]=1;
    g[n+1][n+2]=1;
    n++;
    guass();
    return 0;
}