【BZOJ4869】相逢是问候(线段树+欧拉定理)

直接上传送门: BZOJ4869 相逢是问候

I think

    题意：维护数列区间和，带有将原数a[i]修改为 ca[i] 的操作
    算法：线段树+tex欧拉定理
    思路：当 C>φ(p) 时下式成立

Cx≡Cx%φ(p)+φ(p)(mod p)

    证明%大佬     微小的欧拉定理EXT证明
    若我们对一个值x反复进行该操作，简单来看过程如下：

CCx≡CCx%φ(p)+φ(p)≡CCx%φ(p)∗Cφ(p)  (mod p)

CCx%φ(p)∗Cφ(p)≡CCx%φ(φ(p))+φ(φ(p))∗Cφ(p)≡CCx%φ(φ(p))∗Cφ(φ(p))∗Cφ(p)(mod p)

    而像这样递归调用欧拉函数 log(p) 次后能够使它最终变成1，操作就不难了。
    安利小伙伴的 题解！

Code

Select Code

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int sm = 5e4+10;
const int sn = 2e5+10;
const int mx = 1e4+5;
int n,m,c,P,k;
int a[sm],s[sn],tag[sn];
int ph,p[30];
int pr[mx+10],np[mx+10];
int Min(int x,int y) { return xchar ch;
void read(int &x) {
    x=0,ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
void prepare() {
    for(int i=2;i<=mx;++i) {
        if(!np[i]) pr[++pr[0]]=i;
        for(int j=1;j<=pr[0]&&pr[j]*i<=mx;++j) {
            np[i*pr[j]]=1; if(!(i%pr[j]))break;
        }
    }
}
int phi(int x) {//计算欧拉函数
    ph=x;
    for(int i=1;i<=pr[0]&&pr[i]*pr[i]<=x;++i) {
        if(x%pr[i])continue;
        ph=ph-ph/pr[i];
        while(!(x%pr[i]))x/=pr[i];
    }
    if(x>1)ph=ph-ph/x;
    return ph;
}
void pushup(int x) {
    s[x]=(s[x<<1]+s[x<<1|1])%p[0];
    tag[x]=Min(tag[x<<1],tag[x<<1|1]);
}
void build(int i,int l,int r) {
    if(l==r) {
        read(a[l]),s[i]=a[l]%p[0],tag[i]=0; return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(i<<1,l,m);
    build(i<<1|1,m+1,r);
    pushup(i);
}
int q_pow(int a,int b,int mod,int &flag) {
    int ans=1;
    bool big=0;
    while(b) {
        if(b&1) { flag|=big|(LL)(ans*a>=mod),ans=(LL)ans*a%mod; }
        //(LL)(ans*a>=mod)判断当前结果在模之前是否大于模数
        if((LL)a*a>=mod)big=1;//任意一个因子大于模数
        a=(LL)a*a%mod,b>>=1;
    }
    return ans;
}
int calc(int x,int dep) {
    int ret=x,flag;
    if(ret>=p[dep]) ret=ret%p[dep]+p[dep];
    for(int i=dep;i>0;--i) {
        flag=0,ret=q_pow(c,ret,p[i-1],flag);
        if(flag)ret+=p[i-1];//判断下一层的指数是否+p[i-1]
    }
    return ret%p[0];
} 
void modify(int i,int l,int r,int aa,int b) {
    if(tag[i]>=k) return;
    if(l==r) {
        s[i]=calc(a[l],++tag[i]);//每次都重新计算
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(aa<=m) modify(i<<1,l,m,aa,b);
    if(b > m) modify(i<<1|1,m+1,r,aa,b);
    pushup(i);
}
int query(int i,int l,int r,int a,int b) {
    if(a<=l&&r<=b) return s[i]%p[0];
    int m=(l+r)>>1;
    int ans=0;
    if(a <=m) ans=(ans+query(i<<1,l,m,a,b))%p[0];
    if(b > m) ans=(ans+query(i<<1|1,m+1,r,a,b))%p[0];
    return ans;
} 
int main() {
    prepare();
    read(n),read(m),read(P),read(c);
    p[k]=P; while(p[k]!=1) p[++k]=phi(p[k-1]); p[++k]=1; 
    build(1,1,n);
    for(int i=1,r,l,ind;i<=m;++i) {
        read(ind),read(l),read(r);
        if(!ind) modify(1,1,n,l,r);
        else printf("%d\n",query(1,1,n,l,r));
    }
    return 0;
}