洛谷P2150 寿司晚宴

链接

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=2150

题解

　　考虑暴力，当 n≤30 时，素数有2 3 5 7 11 13 17 19 23 29，一共10个，状压dp可行，f[i][j]表示每个人选数的状态，然后暴力转移就好了，复杂度 O(22N) 。然后我就想不出来了……
　　有一个常用到的性质就是，对于任何一个数字 x ，其大于 x√ 的约数只能有一个或者没有，利用这个性质，可以做这道题。 ⌊500−−−√⌋=22 ，而小于等于22的最大的素数是19，从1到19一共只有8个素数。
　　可以只压这8个素数， f[i][j] 表示第一个人的选数状态为i，第二个人为j的方案数。
　　将 [2,500] 的所有数分解质因数，大于19的素数最多有一个，记下来，记作gp[i](giant prime)，小素数们压进二进制数，记作tp[i](tiny primes)。
　　接下来是转移。
　　对于gp相等的数，我们划分到一组里去单独dp，因为这一组中只能让一个人选数，一个人选了另一个人就不能再这组里选了。
　　对于一个组，其giant prime是相同的，令 g[i][j] 表示已经考虑了组中的所有数和前面做完的组的所有数，强制让第一个人选择这个组中的数（一个数不选的情况也纳入考虑），第二个人不能选，这样的方案数。
　　初始状态 g[i][j]=f[i][j]
　　那么我们每次加入组中的一个数 x ，令 k=tp[x] ，转移就是 g[i bitor k][j]+=g[i][j] （当 i bitand k==0 ），注意循环顺序要倒序。
　　做完一组之后，要将 g 和 f 数组合并， f[i][j]=g[i][j]+g[j][i]−f[i][j] ，减去 f[i][j] 是因为两个人都啥也不选的情况重复了。
　　这样有BUG，没有大素数的那一组不能这样转移，这样转移方案数会变少，因为这一组中只要两个人不选相同的数字就行，和前面不一样。
　　这时直接 f[i bitor k]+=f[i][j] ， f[i][j bitor k]+=f[i][j]
　　答案就是所有状态加起来。

代码

//状压DP 
#include 
#include 
#define maxn 1000
#define ll long long
using namespace std;
ll N, P, f[maxn][maxn], g[maxn][maxn], tp[maxn], hp[maxn], mark[maxn], prime[maxn],
    num[maxn], h[maxn][maxn];
bool cmp(ll a, ll b){return hp[a]"%lld%lld",&N,&P);
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++prime[0]]=i;
        for(j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]<=N;j++)
        {
            mark[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
        for(j=1;prime[j]*prime[j]<=N;j++)if(i%prime[j]==0)tp[i]|=(1<1);
        for(;prime[j]<=i and j<=prime[0];j++)if(i%prime[j]==0)hp[i]=prime[j];
    }
    for(i=2;i<=N;i++)num[i]=i;
    sort(num+2,num+N+1,cmp);
}
void dp()
{
    ll l, r, p, i, j, k, ans=0;
    f[0][0]=1;
    for(l=2;l<=N;l=r+1)
    {
        for(r=l;hp[num[r]]==hp[num[l]] and r<=N;r++);r--;
        if(hp[num[l]]!=0)
        {
            for(i=0;i<256;i++)for(j=0;j<256;j++)g[i][j]=f[i][j];
            for(p=l;p<=r;p++)
            {
                k=tp[num[p]];
                for(i=255;i>=0;i--)
                    for(j=255;j>=0;j--)
                    {
                        if((i&j)or(j&k))continue;
                        g[i|k][j]+=g[i][j];
                    }
            }
            for(i=0;i<256;i++)for(j=0;j<256;j++)f[i][j]=(g[i][j]+g[j][i]-f[i][j])%P;
        }
        else
        {
            for(p=l;p<=r;p++)
            {
                k=tp[num[p]];
                for(i=255;i>=0;i--)
                    for(j=255;j>=0;j--)
                    {
                        if(i&j)continue;
                        f[i][j]%=P;
                        if((j&k)==0)f[i|k][j]+=f[i][j];
                        if((i&k)==0)f[i][j|k]+=f[i][j];
                    }
            }
        }
    }
    for(i=0;i<256;i++)for(j=0;j<256;j++)ans=(ans+f[i][j])%P;
    printf("%lld",((ans%P)+P)%P);
}
int main()
{
    init();
    dp();
    return 0;
}