【FWT快速沃尔什变换】讲解 + 例题 BZO-J4589 Hard Nim（FWT、博弈论、快速幂）
参考：FWT快速沃尔什变换学习笔记(证明等都非常详细，虽然我没看证明 )
一、FWT的作用
-
FFT 、NTT：计算多项式卷积
C k = ∑ i + j = k A i ∗ B j C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j Ck=i+j=k∑Ai∗Bj -
FWT ：计算多项式的位运算卷积
- C k = ∑ i ∣ j = k A i ∗ B j C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j Ck=∑i∣j=kAi∗Bj
- C k = ∑ i & j = k A i ∗ B j C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j Ck=∑i&j=kAi∗Bj
- C k = ∑ i ⋀ j = k A i ∗ B j C_k=\sum_{i\bigwedge j=k}A_i*B_j Ck=∑i⋀j=kAi∗Bj
二、FWT公式
int x = a[i + j], y = a[i + j + d];
FWT
//xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;
//and:a[i+j]=x+y;
//or: a[i+j+d]=x+y;
IFWT
//inv2表示2在模mod下的逆元,如果带模，则除以2变成乘以inv2
//xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;
//and:a[i+j]=x-y;
//or:a[i+j+d]=y-x;
三、模板
//分治等思路几乎与FFT一致，只是迭代的公式不一样
void FWT_or(int *a, int opt)
{
for(int i = 1; i < N; i <<= 1)//i准备合并序列的长度的二分之一
for(int j = 0, p = i << 1; j < N; j += p)////p=i*2是准备合并序列的长度，j是合并到了哪一位(第某段的开头的坐标)
for(int k = 0; k < i; ++k)//k是第某段内的第某位(只扫描前一半，后面一半可以同时求)
{
int x = a[j + k], y = a[i + j + k];
if(opt == 0)
a[i + j + k] = (x + y) % MOD;
else
a[i + j + k] = (y - x + MOD) % MOD;
}
}
void FWT_and(int *a, int opt)
{
for(int i = 1; i < N; i <<= 1)
for(int p = i << 1, j = 0; j < N; j += p)
for(int k = 0; k < i; ++k)
{
int x = a[j + k], y = a[i + j + k];
if(opt == 0)
a[i + j + k] = (x + y) % MOD;
else
a[i + j + k] = (x - y + MOD) % MOD;
}
}
void FWT_xor(int *a, int opt)
{
for(int i = 1; i < N; i <<= 1)
for(int p = i << 1, j = 0; j < N; j += p)
for(int k = 0; k < i; ++k)
{
int x = a[j + k], y = a[i + j + k];
a[j + k] = (x + y) % MOD;
a[i + j + k] = (x - y + MOD) % MOD;
if(opt)//inv2表示2在模mod下的逆元，如果不是在模意义下的话，开一个long long，然后把乘逆元变成直接除二即可。
a[j + k] = 1LL * a[j + k] * inv2 % MOD, a[i + j + k] = 1LL * a[i + j + k] * inv2 % MOD;
}
}
四、例题 BZO-J4589 Hard Nim
Description
Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：
- Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。
- 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。
不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。
Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。
由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。
Input
输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。
对于每组数据：
共一行两个正整数n和m。
每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。
不超过80组数据。
Sample Input
3 7
4 13
Sample Output
6
120
思路：
- 这是一个nim博弈，后手必胜的要求是：所有堆的数量的异或和为0。
- 因此这里相当于变相的询问，对于给定的小于m的质数中，选取n个数（可以重复），他们异或和为0的方案数有多少个。
- 显然是FWT，求 A ( x ) 3 A(x)^3 A(x)3，取 x 0 x^0 x0的系数就是答案。
- 如果n很小，我们可以一次次做FWT，但是这里n很大，所以要用快速幂优化，中间不必做IFWT转换回去，因为还是要再FWT转换回来计算值的，所以在快速幂做完后，最后做一次IFWT即可。
AC代码
#include