2019xupt-acm校赛 题解 ( F.猜球球 ) by出题组tongtong

重现赛链接 2019 ACM ICPC Xi'an University of Posts & Telecommunications School Contest

前面的话

有幸参与2019XUPT-ACM校赛出题和裁判工作。过程还是蛮有意思的。

转载请注明出处和链接。

正文

                       F-猜球球（3s）

Description

六一到了，为了庆祝这个节日，好多商家都推出了很多好玩的小游戏。Tongtong看到了一个猜球球的游戏，有n种除了颜色之外完全相同的球，商家从中拿出来一个球球放到了箱子里，已知第i种颜色的球出现在箱子里的概率为ai。Tongtong可以用下面这种方法来确定箱子中球的颜色：向商家提出猜测：“是第x种颜色的球球或第y种颜色的球球或...........中的一个”，商家会回答你的猜测是正确还是错误的，直到你有百分百的把握确定箱子里的球球，猜测的次数越少，Tongtong能够得到的礼物就更好。为了让Tongtong过一个开开心心的六一，请你找出一种最优的策略，尽可能少的向店主提出猜测来确定球的颜色，输出猜测次数的期望值。

策略“最优”是指：猜测次数的期望最小。当你有百分百的把握确定箱子里的球球颜色种类时，则不需要继续猜测。例如，如果有两种颜色的球球，箱子里放的是第二种颜色的球球，你可以猜测“是第一种颜色的球球”。商家会告诉你“错误”，所以你可以推测“箱子里的球球是第二种颜色的”，并且有百分百的把握，所以你就可以结束猜测而不需要额外的一次猜测。这种询问方式猜测次数为一次（不管你这一次有没有猜对）。

Input

第一行输入一个n，表示有n种颜色的球。 n<=2 000

第二行输入n个非负小数a1~an，表示是第i种颜色球球的概率，保证加和起来为1。

Output

输出最小期望，保留7位小数。

Sample Input1

3

0.5000000000 0.2500000000 0.2500000000

Sample Output1

1.5000000

Sample Input2

4

0.3 0.3 0.2 0.2

Sample Output2

2.0000000

 

Hint

对于样例1：

最佳策略下：第一次询问“是不是第二种颜色的球球或第三种颜色的球球中的一种”，如果回答“否”则可以知道是第一种颜色的球球，结束询问；如果回答是“是”则询问第二次“是不是第二种颜色的球球”。

 

对于样例2：

最佳策略下：第一次询问“是不是第一种颜色或第二种颜色球球中的一个”，如果回答“是”则询问第二次“是不是第一种颜色的球球”，根据回答可以得出球球的颜色；如果第一次询问回答“否”，则第二次询问“是不是第三种颜色的球球”，同理根据第二次回答也可以唯一得出球球的颜色。

一些废话：

本来让我出校赛的题目的话，是不想出一些乱七八糟的数据结构与算法的。像哈夫曼树这样的数据结构基本不会出现在小小的校赛里。但有时候你不得不相信这种叫做“缘分”的东西。

这个题目的想法实际上不是我自己想出来了的。事情的经过是这样的：

寒假里听另外一个学习AI方面技术的同学闲扯机器学习深度学习什么的东西，然后遇到的一个问题就是“猜球球”。那个同学说用神经网络*&%%&*+（省略一堆听不懂的话）什么的来解决这个问题。然后机智的我突然感觉到：这种类型的问题应该是有解的，也就是有一个确定的算法可以准确的得到最优解，而不是靠AI什么的得到近似最优解。

然后我考虑良久，经过跟出题组其他成员讨论，最终这个题就出现在了校赛上。

 

校赛的时候没人做出来这个题，我想了一下大概有以下原因：

1.思路确实有点绕

2.题面太长太复杂，导致大家一看就头晕

3.前面的题花费了太多时间，轮到了这个题没有时间和精力去做

4.出题者在完全放松没有压力的情况下思考、论证题解都想了几个小时，赛场上可能真的很难。（而且经过出题组的讨论，这个题被定义为【难】的等级，是本次比赛除去压轴题和失效题以外最难的题）

题目思路：

先贴出来讲题的PPT上的解题思路：

因为任意一次询问和回答，都可以确定其中一半的球球集合包含目标球，另一半则不包含目标球。然后再对包含目标球的球球集合进一步划分，直到包含目标球的集合里只包含一个球，就可以百分百确定了。这样就得到了一个决策树（二叉形状），二叉决策树根节点到每个叶子的路到都是期中一种情况的解决方案，显然深度就是询问次数。       则有：期望=∑(询问次数*每种情况出现的概率)=∑(叶子对应的深度*它出现在盒子里的概率)。        而我们知道：这个公式   ∑（深度*元素出现的概率 ）    与某种编码方案的编码长度期望公式 相同。询问次数的期望最小也就是编码长度的期望最小。而解决这个问题的经典方法就是——哈夫曼树

然后我稍稍再解释一遍：

由题意可知，tongtong的目的是确定箱子里的球球的颜色到底是什么。

对于策略问题，我们建立一颗“决策树”。树上每个节点代表当前状态，也就是“候选球”的集合。目的是寻找“目标球”

一开始，集合中的元素是全体球球。表示所有的球都有可能是箱子里的球球（当然要除去出现概率为0的球，这是一个出题者自己都踩进去的坑点）。

然后我们要开始询问。这一次询问会将集合中的元素分成两半，也就是两个子集，假设这两个子集分别为A和B，我们询问的格式等价为：“箱子里的球球是集合A中的一个？”，我们知道，不管回答是“正确”还是“错误”，我们都可以确定“目标球球”到底在哪一半中。（就像你询问“你是不是男生”这种答案是二选一的问题，只要对方是"诚实的"不管对方的答案是什么，你都可以确定正确答案）

也就是说：每次询问都会将当前的集合分成两部分。而回答的“正确”和“错误”会导致两种互斥的状态转移。这也就是决策树的分叉。直到我们得到一个只包含一个元素的集合，就可以百分百确定“目标球”到底是什么了。

现在我们要求的就是怎样询问（怎样决策）可以使平均询问次数最少（期望最小）。

在决策树上，每个叶子都代表一种球球颜色可能的情况，每种情况出现的概率就是球球出现在箱子里的概率，询问次数显然就是叶子所在的深度。

我们通过对比：本题的期望公式  和  哈夫曼编码求某种编码方案的平均编码长度（长度的期望）公式，发现两个公式是完全一样的（同构的），都是 

期望 = ∑（深度*元素出现的概率 ）

所以我们可以将题目转化为：

每个球球都是一个字符，每个字符出现的使用不同。给出所有字符使用频率，请给出一个前缀码的编码方案，使平均码长最短。

然后学过《数据结构》的大二同学应该知道，最佳编码就是“哈夫曼编码”，求该方案的算法就是构造“哈夫曼树”。

 时间复杂度：

构造哈夫曼树的经典算法的时间复杂度为O(n*n)，使用优先队列（堆）优化后只需要O(nlogn)。

为了降低难度，所以比赛设定O(n*n)就可以判对了。

#include
#include
using namespace std;
int const maxn=2e3+5;
double co[maxn];
struct node
{
    int i;
    double v;
    struct node*lc,*rc,*self;
    node()
    {
        lc=rc=NULL;
        self=this;
    }
};
node mem[maxn<<2];
int m=0;
node *alloc()
{

    return &mem[m++];
}
node *lst[maxn];
bool operator<(node a,node b)
{
    return a.vlc==NULL && rt->rc==NULL)
        return d*rt->v;
    double ret=0;
    ret+=dfs(rt->lc,d+1);
	ret+=dfs(rt->rc,d+1);
	return ret;
}
int main()
{
	double sum=0;
    int n;
    cin>>n;
    double t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>t;
        if(t==0)
		{
			n--;
			i--;
			continue;
		 }
		sum+=t;
        lst[i]=alloc();
        lst[i]->v=t;
        lst[i]->i=i;
    }
    priority_queueque;
    while(que.empty()==0)
        que.pop();
    for(int i=0;i2)
            		que.pop();
			}
        }
        node a=que.top();
        que.pop();
        node b=que.top();
        que.pop();
        node *rt=alloc();
        rt->i=a.i;
        rt->v=a.v+b.v;
        rt->lc=a.self;
        rt->rc=b.self;
        lst[b.i]=NULL;
        lst[a.i]=rt;
    }
    int root;

    for(root=1;root<=n;root++)
        if(lst[root])
            break;
    double ans=dfs(lst[root],0);
    printf("%.7f\n",ans);

}