【BestCoder】小C的倍数问题

Description

根据小学数学的知识，我们知道一个正整数x是3的倍数的条件是x每一位加起来的和是3的倍数。反之，如果一个数每一位加起来是3的倍数，则这个数肯定是3的倍数。

现在给定进制P，求有多少个B满足P进制下，一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是B的倍数。

Solution

本题的ans为p-1的因数个数，
为什么呢？

如果b满足条件，那么也要满足： pxmodb=1 ， x为任意正整数，（b%p任意次方为1）
这个显然吧…

接下来证一下为什么如果x是b的倍数，那么它每位之和也为b的倍数，
设y为即是b的倍数，每位之值和也为b的倍数的数，
那么只要证明y+b的每位之值和为b的倍数的数即可，
设y在p进制下最后为q，
如果没有产生进位，显然，
如果只产生了一位进位，那么新的每位之值和增加值为： 1+q+b−p
考虑对%b下的影响，变一下，因为y的每位之和为b倍数，直接去掉（别忘了b为(p-1)的因数）
(1+b−p)%b=(1−p)%b=0
所以这个每位之和%b依旧为0，

得证！

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
int m,n,ans;
int main()
{
    LL q,w,_;
    scanf("%d",&_);
    while(_--)
    {
        scanf("%d",&q);q--;
        ans=1;
        for(int i=2;i*i<=q;i++)if(q%i==0)
        {
            w=0;
            while(q%i==0)w++,q/=i;
            ans=ans*(LL)(w+1);
        }
        if(q>1)ans=ans*2LL;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}