CodeForces 1093G 、HDU 6435（多维最远曼哈顿距离）

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题目链接

https://codeforces.com/contest/1093/problem/G
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6435

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解题思路

将K维曼哈顿距离表达式展开：
${\sum }_{i=1}^k\left|a_{x,i}-a_{y,i}\right|={\sum }_{i=1}^k{c}_i(a_{x,i}-a_{y,i})={\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{x,i}-{\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{y,i}$
当$a_{x,i}\ge a_{y,i}$时，$c_i=1$，否则$c_i=-1$。
每个点的$c_i$共有$2^k$种状态，可用二进制表示，该位为1，则$c_i=1$，否则$c_i=-1$。
求任意两点的K维最远曼哈顿距离，即可枚举$2^k$种状态，用该状态下最大的${\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{x,i}$减最小的${\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{y,i}$来更新答案。
然而这样会出现与事实不符的情况，如当前状态的二进制表示为xxx1x，但最大的${\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{x,i}$中，$a_{x,4}=3$，最小的${\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{y,i}$中，$a_{y,4}=5$，显然$c_4=-1$，第四位应该为0。但这种情况下，$c_4{a}_{x,4}-c_4{a}_{y,4}=-2$，一定存在xxx0x的状态，$c_4{a}_{x,4}-c_4{a}_{y,4}=2$，与事实相符且累加后优于xxx1x。

CodeForces 1093G：
1、单点更新
2、区间求K维最远曼哈顿距离
线段树维护每个点的$2^k$种状态，时间复杂度$(n+q)2^k\log n$。

HDU 6435：
$(S_x+{\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{x,i})+(S_y+{\sum }_{i=1}^k(-c_i)a_{y,i})$
枚举$2^k$种状态，用该状态下最大的$S_x+{\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{x,i}$，加按位取反后，最大的$S_y+{\sum }_{i=1}^k{c}_i{a}_{y,i}$来更新答案。

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AC代码

//CodeForces 1093G
#include
#define SZ(x) (int)(x.size())
using namespace std;

const int MAXN = 200010;

int n, k, q, b[5];

struct STree{
    int ma[32];
    #define lson p << 1
    #define rson p << 1 | 1
    #define ma(x, y) st[x].ma[y]
}st[MAXN << 2];

void upd(int p, int l, int r, int x, int b[]){
    if(l == r){
        for(int i = 0; i < (1 << k); i ++){
            ma(p, i) = 0;
            for(int j = 0; j < k; j ++){
                if((i >> j) & 1)
                    ma(p, i) += b[j];
                else
                    ma(p, i) -= b[j];
            }
        }
        return ;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if(x <= mid)
        upd(lson, l, mid, x, b);
    else
        upd(rson, mid + 1, r, x, b);
    for(int i = 0; i < (1 << k); i ++)
        ma(p, i) = max(ma(lson, i), ma(rson, i));
}

int ask(int p, int l, int r, int ql, int qr, int c){
    if(ql <= l && r <= qr)
        return ma(p, c);
    int mid = l + r >> 1, ans = -1e7;
    if(ql <= mid)
        ans = max(ans, ask(lson, l, mid, ql, qr, c));
    if(qr > mid)
        ans = max(ans, ask(rson, mid + 1, r, ql, qr, c));
    return ans;
}


int main(){
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j < k; j ++)
            scanf("%d", b + j);
        upd(1, 1, n, i, b);
    }
    cin >> q;
    while(q --){
        int op, l, r; scanf("%d", &op);
        if(op == 1){
            scanf("%d", &l);
            for(int i = 0; i < k; i ++)
                scanf("%d", b + i);
            upd(1, 1, n, l, b);
        }
        else{
            scanf("%d%d", &l, &r);
            int ans = 0;
            for(int i = 0; i < (1 << k); i ++)
                ans = max(ans, ask(1, 1, n, l, r, i) + ask(1, 1, n, l, r, ((1 << k) - 1) ^ i));
            printf("%d\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}

//HDU 6435
#include
#define SZ(x) (int)(x.size())
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 100010;

int n, m, k, a[MAXN][6];
ll ma[32];

int main(){
    int T; cin >> T;
    while(T --){
        cin >> n >> m >> k;
        for(int i = 0; i < (1 << k); i ++)
            ma[i] = -1e12;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 0; j <= k; j ++)
                scanf("%d", &a[i][j]);
        for(int i = 1; i <= n; i ++){
            for(int t = 0; t < (1 << k); t ++){
                ll cur = a[i][0];
                for(int j = 0; j < k; j ++){
                    if((t >> j) & 1)
                        cur += a[i][j + 1];
                    else
                        cur -= a[i][j + 1];
                }
                ma[t] = max(ma[t], cur);
            }
        }
        ll ans = -1e12;
        for(int i = 1; i <= m; i ++){
            for(int j = 0; j <= k; j ++)
                scanf("%d", &a[i][j]);
            for(int t = 0; t < (1 << k); t ++){
                ll cur = a[i][0];
                for(int j = 0; j < k; j ++){
                    if((t >> j) & 1)
                        cur += a[i][j + 1];
                    else
                        cur -= a[i][j + 1];
                }
                ans = max(ans, cur + ma[((1 << k) - 1) ^ t]);
            }
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}