考研数学之高等数学知识点整理——2.极限

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二、极限

1 极限的定义

• ① 数列极限的定义
  对于数列{X_n}，常数a，若对∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<ε，则称a为{x_n}的极限，或者称{x_n收敛于a}，记为
  $$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

• ② 当 $x\to \infty$ 时 $f(x)$ 的极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃正数X，当|x|>X时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→∞时的极限，记为
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$$

• ③ 当 $x\to x_0$ 时 ($x_0$为有限值) $f(x)$ 的极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的极限，记为
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

• ④ 当 $x\to x_0$ 时 ($x_0$为有限值) $f(x)$ 的左右极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当00<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的右极限，记为
  $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x_0+0)=A$$
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当00-x<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的左极限，记为
  $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A或f(x_0-0)=A$$

2 数列极限的基本性质

• ① 极限的唯一性
  如果{x_n}收敛，那么它的极限唯一。
  

• ② 收敛数列的有界性
  如果{x_n}收敛，那么{x_n}一定有界。
  

• ③ 收敛数列的保号性
  如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，且a>0(或a<0)，那么∃正整数N，当n>N时，都有x_n>0(或x_n<0)。

  • 推论1
    如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=b$，且a>b，那么∃正整数N，当n>N时，x_n>y_n。
  • 推论2
    如果∃正整数N，当n>N时，x_n≥0(或x_n≤0)，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，那么a≥0(或a≤0)。
    

• ④ 收敛数列与其子数列间的关系
  如果{x_n}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
  

3 函数极限的基本性质

• ① 极限的唯一性
  如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=B$，那么A=B。
  

• ② 函数极限的局部有界性
  如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么∃δ>0，f(x)在{x|0<|x-x₀|<δ}内有界。
  

• ③ 函数极限的局部保号性
  如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，而且A>0(或A<0)，那么∃常数δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0)。
  如果在x₀的某空心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么A≥0(或A≤0)；
  

• ④ 函数极限与数列极限的关系
  如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$存在，{x_n}为f(x)的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足x_n≠x₀，那么$\{f(x_n)\}$必收敛，且$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$。
  

• ⑤ 复合函数的极限
  设y=f(u)在点u=a处连续，又$\underset{x\to x_0}{\lim }\phi (x)=a$，则$\underset{x\to x_0}{\lim }f[\phi (x)]=f(a)$。
  

4 无穷小量与无穷大量

4.1 定义

• 无穷小量
  如果$\lim f(x)=0(x\to x_0或x\to \infty )$，那么称函数f(x)为(当x→x₀或x→∞时的)无穷小量。
  

• 无穷大量
  如果$\lim f(x)=\infty (x\to x_0或x\to \infty )$，那么称函数f(x)为(当x→x₀或x→∞时的)无穷大量。
  

4.2 性质

• 性质 1
  $\lim f(x)=A\iff A+\alpha (x)$，其中α(x)是(x→x₀或x→∞)无穷小量
  

• 性质 2
  有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
  有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量；
  无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量；
  

4.3 无穷小量的比较

设在自变量x的同一变化过程中(如x→x₀或x→∞)，α(x)，β(x)都是无穷小：
如果 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，则称α(x)是β(x)的 高阶无穷小 ，记作$\alpha (x)=o(\beta (x))$。
如果 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$，则称α(x)是β(x)的 低阶无穷小 。
如果 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c(c̸=0)$，则称α(x)与β(x)是 同阶无穷小 。
如果 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，则称α(x)与β(x)是 等阶无穷小 ，记作$\alpha (x)\sim \beta (x)$。
如果 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x{)}^k}=c(c̸=0)$，则称α(x)是β(x)的 k阶无穷小 。

• 等价无穷小替换定理
  设在自变量x的同一变化过程中，α₁(x)，α₂(x)，β₁(x)，β₂(x)都是无穷小，而且α₁(x)~α₂(x)，β₁(x)~β₂(x)，如果$\lim \frac{{\alpha }_2(x)}{{\beta }_2(x)}=A$，则$\lim \frac{{\alpha }_1(x)}{{\beta }_1(x)}=\lim \frac{{\alpha }_2(x)}{{\beta }_2(x)}=A$。
  

4.4 常用等价无穷小

当x→0时，有
$\sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim e^x-1\sim \ln (1+x)\sim x$
$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
$a^x-1\sim x\ln a$
$(1+x{)}^m-1\sim mx$

5 极限的四则运算

如果 $\lim f(x)$，$\lim g(x)$ 存在，且$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则有
$\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$，
$\lim [f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$，
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B̸=0)$，
$\lim f(x{)}^{g(x)}=A^B(A>0)$，

6 极限存在的判别方法

• ① 单调有界定律
  单调增加(或单调减小)且有上界(或有下界)的数列{x_n}必有极限
  

• ② 夹迫定律
  如果数列{x_n}，{y_n}，{z_n}满足下列条件：$y_n\le x_n\le z_n(n=1,2,\cdot \cdot \cdot )$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a，\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a$，那么数列{x_n}的极限存在，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$。