【数论】【DP】【LCM】2018 USP-ICMC【待补】

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A. Nicoleta and the circle of kids

Description

每个人可以连边，最远连到第（i+k）%n 个人，边权为两个人之间的距离，求最大生成树

Range

1 ≤ K < N ≤ 1e9

Solution

方案一：LCM
如果每个人都选取最优的连边策略，假设在人数可以无限扩大的前提下，那么每个人都可以向接下来的第k个人连边，很容易得出一个循环节，长度为 lcm(n, k)，那么针对于每一个循环节，可以做为连边的起点（左边没有点与它相连）的点一共有 n * k / l 个，同时从每一个起点出发的线路长度为 k 的边一共有 l / k - 1个。经过这样的策略连边后，就形成了 n * k / l 条（也就是所谓的起点数）独立的长链，那么只需对这些条长链间再两两之间连一条长度为 k-1 的边即可形成一棵树。

方案二：gcd
每一个人都优先向第k个人连边，剩下的连第k-1个人，这样得到的边权和一定是最大的

Code

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define lowbit(x) x&(-x)
#define PII pair
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rush() int T; scanf("%d", &T); while(T--)
#define FIO ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 5e5 + 5;

LL n, k;

LL gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
LL lcm(LL x, LL y) { return x / gcd(x, y) * y; }

int main()
{
	while(~scanf("%lld %lld", &n, &k)) {
		LL g = gcd(n, k), l = lcm(n, k);
		// 方案一
		LL cnt = l / k - 1, group = n * k / l;
		LL ans = group * cnt * k + (group - 1) * (k - 1);

		// 方案二
		// LL ans = 1LL * k * g * (n / g - 1) + 1LL * (g - 1) * (k - 1);
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

B. Ugly Number

Description

给出一串长度为n的数，不停地旋转这个数，询问在旋转的过程中会不会出现比初始状态小的数

Solution

对于这个字符串，可以求出一个最小表示法，也就是在旋转过程中会出现的数中最小的那一个，如果最小表示法的第一个字符不是初始串的第一个字符就不合法

Code

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define fi first
#define se second
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rush() int T; scanf("%d", &T); while(T--)
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 1e6 + 5;

char s[MaxN];

int main()
{
    int n; scanf("%d %s", &n, s + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
    	s[n+i] = s[i];
    	if(s[i] < s[1]) { printf("No\n"); return 0; }
	}
	int l = 1, r = 2;
	while(l <= n && r <= n) {
		int k = 0;
		while(k <= n && s[l+k] == s[r+k]) k++;
		if(s[l+k] <= s[r+k]) r += k + 1;
		else l += k + 1;
	}
	if(min(l, r) == 1) printf("Yes\n");
	else printf("No\n");
    return 0;
}

C. Two Cats

Description

Solution

Code

E. Loppinha, the boy who likes sopinha

Description

Solution

Code

G. Traffic Management

Description

在一条直线上有n辆车在匀速行驶，每辆车都有自己的初始位置和速度，当后面车与前面的车相撞时，后面车的速度会瞬间变得和前面车一样，询问最后一次相撞的时刻。

Solution

Code

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define fi first
#define se second
#define pd push_back
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rush() int T; scanf("%d", &T); while(T--)
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 2e5 + 5;

struct node {
	double s, v;
}a[MaxN];

bool cmp(node x, node y) { return x.s < y.s; }
int main()
{
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf %lf", &a[i].s, &a[i].v);
    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
    int pos = n;
    double ans = 0.0;
    for(int i = n; i >= 1; i--) {
    	if(a[i].v <= a[pos].v) pos = i;
		else {
			double tmp = (a[pos].s - a[i].s) / (a[i].v - a[pos].v);
			ans = max(ans, tmp);
		}
	}
	printf("%.6f\n", ans);
    return 0;
}

I. I Will Go

Description

有一个游戏，现在一共有n个人，给出n个关系，如果第i个人去的话，那么第 a[i] 个人也必须去

Solution

第 i 个人去第 a[i] 个人也必须去的话，就形成了一组关系， 那么利用这些点之间的关系就可以建造一个森林，将每一个被连了的点打上标记，那么没有边连的点就可以作为森林中每颗树的根节点。

方案一：LCA
建立一个虚拟结点，使之分别与这些树的根节点相连，于是就形成了一棵树，对这棵树查询结点 u 是不是结点 v 的祖先即可。

方案二：DFS
以每棵树的根节点跑一遍dfs序，那么这个结点 u 的dfs序是否在点 v 内即可判断从 u 能否能到达 v。

Code

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define fi first
#define se second
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rush() int T; scanf("%d", &T); while(T--)
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 1e6 + 5;

// 方案一
vector<int> G[MaxN];
bool vis[MaxN];
int lg[MaxN], dep[MaxN];
int acst[MaxN][22];
int n;

void init() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		lg[i] = lg[i-1] + ((1 << lg[i-1]) == i);
	}
	for(int i = 0; i <= n; i++) {
		vis[i] = 0;
		G[i].clear();
	}
}

void dfs(int u, int fa){
	int len = G[u].size();
	acst[u][0] = fa;
	for(int i = 1; (1 << i) <= dep[u]; i++){
		acst[u][i] = acst[acst[u][i-1]][i-1];
	}
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		int v = G[u][i];
		if(v != fa){
			dep[v] = dep[u] + 1;
			dfs(v, u);
		}
	}
}
 
int LCA(int x, int y){
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	while(dep[x] > dep[y]) {
		x = acst[x][lg[dep[x]-dep[y]]-1];
	}
	if(x == y) return x;
	for(int i = lg[dep[x]] - 1; i >= 0; i--) {
		if(acst[x][i] != acst[y][i]) x = acst[x][i], y = acst[y][i];
	}
	return acst[x][0];
}
 
int main()
{
	int q;
	scanf("%d %d", &n, &q);
	init();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int x; scanf("%d", &x); x++;
		if(x) {
			G[x].pb(i); // G[i].pb(x);
			vis[i]++;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!vis[i]) G[0].pb(i);
	}
	dep[0] = 1;
	dfs(0, -1);
	while(q--) {
		int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
		u++; v++;
		if(LCA(u, v) == v) printf("Yes\n");
		else printf("No\n");
		// printf("%d\n", LCA(u, v));
	}
	return 0;
}
// 方案二：
/*
vector G[MaxN];
int ind[MaxN];
int l[MaxN], r[MaxN]; // 记录每个点的dfs序的起始
int cur = 0;

void dfs(int x) {
	l[x] = ++cur;
	for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
		int u = G[x][i];
		dfs(u);
	}
	r[x] = ++cur;
}

int main()
{
    int n, q; scanf("%d %d", &n, &q);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
		int v; scanf("%d", &v);
		if(v == -1) continue;
		G[v].push_back(i);
		ind[i]++;
	}
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		if(!ind[i]) dfs(i);
	}
	while(q--) {
		int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
		if(l[v] <= l[u] && r[v] >= r[u]) cout << "Yes" << endl;
		else cout << "No" << endl;
	}
    return 0;
}*/