非旋转/可持久化treap(转自Sengxian's Blog)

非旋转 Treap 及可持久化 Treap

Published on 2017-10-12

基本知识:普通堆,二叉搜索树,可持久化基本思想。

介绍

性质

Treap = Tree + Heap
Treap 是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
Treap 有两个关键字,在这里定义为:

  1. key\text{key}key:满足二叉搜索树性质,即中序遍历按照 key\text{key}key 值有序。
  2. val\text{val}val:满足堆性质,即对于任何一颗以 xxx 为根的子树,xxx 的 val\text{val}val 值为该子树的最值,方便后文叙述,定义为最小值。为了满足期望,val\text{val}val 值是一个随机的权值,用来保证树高期望为 logn\log nlogn。剩下的 key\text{key}key 值则是用来维护我们想要维护的一个权值,此为一个二叉搜索树的基本要素。

给出结构体定义:

struct Treap {
    int key, val;
    Treap *ch[2];
};

功能

支持操作:

  • 基本操作:
  • Build 「构造Treap」O(n)O(n)O(n)
  • Merge「合并」O(logn)O(\log n)O(logn)
  • Split「拆分」O(logn)O(\log n)O(logn)
  • Newnode「新建节点」O(1)O(1)O(1)
  • 可支持操作:
  • Insert「Newnode+Merge」O(logn)O(\log n)O(logn)
  • Delete「Split+Split+Merge」O(logn)O(\log n)O(logn)
  • Find_kth「Split+Split」O(logn)O(\log n)O(logn)
  • Query「Split+Split」O(logn)O(\log n)O(logn)

实现

建树

建树之前,按照惯例,先看看一个叫笛卡尔树的东西。

笛卡尔树

笛卡尔树是一棵二叉树,树的每个节点有两个值,一个为 key\text{key}key,一个为 val\text{val}val。光看 key\text{key}key 的话,笛卡尔树是一棵二叉搜索树,每个节点的左子树的 key\text{key}key 都比它小,右子树都比它大;光看 val\text{val}val 的话,笛卡尔树有点类似堆,根节点的 val\text{val}val 是最小(或者最大)的,每个节点的 val\text{val}val 都比它的子树要大。
笛卡尔树构造是和 Treap 完全一样的,如果 key\text{key}key 值是有序的,那么笛卡尔树的构造是线性的,所以我们只要把 Treap 当作一颗笛卡尔树构造就可以了。

笛卡尔树的构造

这里对于 val\text{val}val 而言,我们构造小根堆。
我们将一个节点表示为:(key,val)(\text{key}, \text{val})(key,val)。首先将所有节点按照 key\text{key}key 从小到大排序。
引入一个栈,栈底存放一个元素 (−∞,−∞)(-\infty, -\infty)(,),表示超级根,这样保证它总在最上面,他的右儿子即为我们真正的树根。这个栈,维护了笛卡尔树最右边的一条链上面的元素。
从前往后遍历 (key,val)(\text{key}, \text{val})(key,val)

  1. 对于每一个 (keyi,vali)(\text{key}_i, \text{val}_i)(keyi,vali),从栈中找出(从栈顶往栈底遍历)第一个小于等于 vali\text{val}_ivali 的元素 valj\text{val}_jvalj
  2. 将 valj\text{val}_jvalj 之上即 val>vali\text{val} > \text{val}_ival>vali 的点全部弹出。
  3. 在树中,将 jjj 的右子树挂在 iii 的左子树上,将 iii 挂在原来 jjj 的右子树的位置。

用很不严谨的话说,就是一个节点 iii 来了,我们只考虑在最右边的链插入这个节点。由于要维护堆性质,如果它的 val\text{val}val 比之前的都大,那么他就可以挂在最右边的链的最后一个,由于 key\text{key}key 从小到大,不违反二叉搜索树的性质。如果它比之前的某些小,那么找到小于等于它 val\text{val}val 的元素 jjj,变成它的右儿子,那么堆的性质满足了,又要满足二叉搜索树的性质,所以把原先 jjj 的右儿子挂在 iii 的左子树。

POJ: 1785 可以练一练构造笛卡尔树。

Treap *stack[maxn];
void build(int n) {
    root = new Treap(-INF, -INF);
    stack[0] = root; int sz = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int p = sz - 1; Treap *now = new Treap(i, rand());
        while (stack[p] -> val > now -> val) stack[p--] -> maintain(); //注意到向下插入后,上面的点并没有 maintain,我们在退出的时候 maintain
        if (p != sz - 1) now -> ch[0] = stack[p + 1]; 
        stack[p] -> ch[1] = now; sz = p + 1;
        stack[sz++] = now;
    }
    while (sz) stack[--sz] -> maintain();
    root = root -> ch[1];
}

一定要记住在退栈以及最后的时候maintain!!!maintain!!!maintain!!!

Merge

对于两个相对有序的 Treap,那么 Merge 的复杂度是 O(logn)O(\log n)O(logn) 的,否则采用启发式合并,合并两个大小为 n,m(n≤m)n, m(n\le m)n,m(nm) 的 Treap 的复杂度是 O(nlogmn)O(n\log\frac m n)O(nlognm) 的,这里不介绍。
先说一说什么叫序,有两种序,一种是以值为序,即中序遍历的值递增。一种是以序列为序,即元素的相对位置,即中序遍历的值为序列(考虑字符串序列)。这两个的差别,仅仅在插入上面。Treap 可以且仅能维护一种序列。
对于以值为序,那么相对有序就是一个 Treap 的最大元素小于另一个 Treap 的最小元素。
对于以序列为序,执行 Merge 操作就是把两个序列首尾相接,自然也就默认左边的 Treap 全部小于后面的 Treap。

Treap 的合并类似左偏树和斜堆,merge(a, b) 是一个递归操作:

  • 如果 aaa 为空,返回 bbb
  • 如果 bbb 为空,返回 aaa
  • 如果 a→valaval<bval,那么执行a->rc=merge(a->rc, b), a->maintain()。
  • 如果 a→val>b→vala \rightarrow \text{val} > b \rightarrow \text{val} aval>bval,那么执行b->lc=merge(b->lc, a), b->maintain()。

一定要注意是merge(a, b->lc)而不是merge(b->lc, a),显然仍然要保证前一个 Treap 小于后一个 Treap。

Treap* merge(Treap *a, Treap *b) {
    if (a == null) return b;
    if (b == null) return a;
    if (a -> val < b -> val) {
        a -> ch[1] = merge(a -> ch[1], b);
        a -> maintain();
        return a;
    }else {
        b -> ch[0] = merge(a, b -> ch[0]);
        b -> maintain();
        return b;
    }
}

Split

对于一个 Treap,我们需要把它以第 kkk 小拆分,那应该怎么做呢?
根据由于 Treap 具有排序二叉树的性质,左子树全部小于根,右子树全部大于根,如果第 kkk 小在左子树,那么包含前 kkk 小的节点不会在右子树;如果第 kkk 小在右i子树,那么包含前 kkk 小的节点完全包含左子树,这样就很好写递归了。
由于树高是 logn\log nlogn 的,所以复杂度当然也是 logn\log nlogn 的,这样 Treap 有了 Split 和 Merge 操作,我们可以做到提取区间,也因此可以区间覆盖,也可以区间求和等等。除此之外因为没有了旋转操作,我们还可以进行可持久化,这个下文会讲到。

typedef pair<Treap*, Treap*> Droot;
Droot split(Treap *o, int k) {
    Droot d(null, null);
    if (o == null) return d;
    if (k <= o -> ch[0] -> s) {
        d = split(o -> ch[0], k);
        o -> ch[0] = d.second;
        o -> maintain();
        d.second = o;
    }else {
        d = split(o -> ch[1], k - o -> ch[0] -> s - 1);
        o -> ch[1] = d.first;
        o -> maintain();
        d.first = o;
    }
    return d;
}

NewNode

太简单不说了。

Treap* newNode(int key) {
    pit -> key = key, pit -> val = rand(); //pit 内存池
    pit -> s = 1, pit -> ch[0] = pit -> ch[1] = null;
    return pit++;
}

可支持操作

一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成:
Merge和Split可用提取区间,因此可以操作一系列区间操作
Newnode单独拿出来很必要,这样在可持久化的时候会很轻松

练习

学了数据结果总得练习一下是吧:
UVa 11922:翻转操作,以区间为序。

可持久化

所谓可持久化,就是保存历史版本,比如有 10 个版本,那么就有 10 个根,从哪个根访问,就访问的是哪个版本。可持久化的原则就是:用新建代替修改,尽量复用空间。
对于可持久化,我们可以先来看看主席树(可持久化线段树)是怎么可持久化的:由于只有父亲指向儿子的关系,所以我们可以在线段树进入修改的时候把沿途所有节点都 copy 一遍,然后把需要修改的指向儿子的指针修改一遍就好了,因为每次都是在原途上覆盖,不会修改前一次的信息。由于每次只会 copy 一条路径,而我们知道线段树的树高是 logn\log nlogn 的,所以时空复杂度都是 nlognn\log nnlogn
我们来看看旋转的 Treap,现在应该知道为什么不能可持久化了吧?如果带旋转,那么就会破环原有的父子关系,破环原有的路径和树形态,这是可持久化无法接受的。如果把 Treap 变为非旋转的,那么我们可以发现只要可以可持久化 Merge 和 Split 就可一完成可持久化。
因为上文说到了「一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成」,而 Build 操作只用于建造无需理会,newNode 就是用来可持久化的工具。我们来观察一下 Merge 和 Split,我们会发现它们都是由上而下的操作!因此我们完全可以参考线段树的可持久化对它进行可持久化。
与非可持久化不同的是,我们从不修改传入的任何节点,我们只新建节点,当每次需要修改一个节点,就 newNode 出来与以前一样的做就可以了。

UVa 12538:可持久化 Treap 入门题,强制在线。

//  Created by Sengxian on 3/25/16.
//  Copyright (c) 2016年 Sengxian. All rights reserved.
//  UVa 12538 可持久化 Treap
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define ls ch[0]
#define rs ch[1]
using namespace std;

int _n, _ch; bool _flag;
inline int ReadInt() {
    _n = 0, _ch = getchar(), _flag = false;
    while (!isdigit(_ch)) _flag |= _ch == '-', _ch = getchar();
    while (isdigit(_ch)) _n = (_n << 3) + (_n << 1) + _ch - '0', _ch = getchar();
    return _flag ? -_n : _n;
}

const int maxn = 50000 + 3, maxadd = 100 + 3, INF = 0x3f3f3f3f;
struct Treap *null, *pit;
struct Treap {
    int key, val, s;
    Treap *ch[2];
    Treap() {}
    Treap(int key, int val = rand()): key(key), val(val), s(1) {ch[0] = ch[1] = null;}
    void *operator new(size_t) {return pit++;}
    inline void maintain() {s = ch[0] -> s + ch[1] -> s + 1;}
}pool[4000000 + 3], *root[maxn];

inline Treap* newNode(const Treap *o) {
    if (o == null) return null;
    Treap *now = new Treap();
    *now = *o;
    return now;
}

Treap* merge(const Treap *a, const Treap *b) {
    if (a == null) return newNode(b);
    if (b == null) return newNode(a);
    if (a -> val < b -> val) {
        Treap *na = newNode(a);
        na -> rs = merge(a -> rs, b);
        na -> maintain();
        return na;
    }else {
        Treap *nb = newNode(b);
        nb -> ls = merge(a, b -> ls);
        nb -> maintain();
        return nb;
    }
}

typedef pair<Treap*, Treap*> Droot;

Droot split(const Treap *o, int k) {
    Droot d(null, null);
    if (o == null) return d;
    if (k == 0) return Droot(null, newNode(o));
    if (k == o -> s) return Droot(newNode(o), null);
    int s = o -> ls -> s;
    Treap *newroot = newNode(o);
    if (k <= s) {
        d = split(o -> ls, k);
        newroot -> ls = d.second;
        newroot -> maintain();
        d.second = newroot;
    }else {
        d = split(o -> rs, k - s - 1);
        newroot -> rs = d.first;
        newroot -> maintain();
        d.first = newroot;
    }
    return d;
}

Treap *stk[maxadd];
Treap *build(char *str) {
    Treap *root = new Treap(-INF, -INF);
    stk[0] = root; int sz = 1;
    for (int i = 0; str[i]; ++i) {
        Treap *now = new Treap(str[i]); int p = sz - 1;
        while (stk[p] -> val > now -> val) stk[p--] -> maintain();
        if (p != sz - 1) now -> ls = stk[p + 1];
        stk[p] -> rs = now; sz = p + 1;
        stk[sz++] = now;
    }
    while (sz) stk[--sz] -> maintain();
    return root = root -> rs;
}

int cntC = 0;
void print(Treap *o) {
    if (o == null) return;
    print(o -> ls);
    putchar(o -> key);
    if (o -> key == 'c') cntC++;
    print(o -> rs);
}

char a[maxadd];
int main() {
    srand(time(NULL));
    pit = pool, null = new Treap();
    null -> s = 0;
    int n = ReadInt(), cnt = 0;
    root[cnt] = null;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int oper = ReadInt();
        if (oper == 1) {
            int p = ReadInt() - cntC;
            scanf("%s", a);
            Droot l = split(root[cnt], p);
            root[++cnt] = merge(merge(l.first, build(a)), l.second);
        }else if (oper == 2) {
            int p = ReadInt() - cntC, c = ReadInt() - cntC;
            Droot l = split(root[cnt], p - 1), r = split(l.second, c);
            root[++cnt] = merge(l.first, r.second);
        }else if (oper == 3) {
            int v = ReadInt() - cntC, p = ReadInt() - cntC, c = ReadInt() - cntC;
            Droot l = split(root[v], p - 1);
            Droot r = split(l.second, c);
            print(r.first); putchar('\n');
        }else assert(false);
    }
    return 0;
}

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