（ACM数论）中国剩余定理（孙子定理）

中国剩余定理是一种能求解一次同余方程组的姿势~

首先我们来看看什么是一次同余方程组：

X % a[1] = b[1]

X % a[2] = b[2]

….

X % a[n] = b[n]

这里的 % 是取余数的意思，使用这个姿势的前提是a[1]、a[2]、a[3]、… 、a[n]两两互质。

令 X = X[1] + X[2] + … + X[n]，此时只要找到一组 X[i] 满足 X[i] % a[i] = b[i] 且 X[i] % a[1…n（除了i）]= 0 成立即可。

要使 X[i] % a[1…n（除了i）]= 0 成立，只需要让 X[i] 等于他们乘积的倍数即可。令M为他们乘积，于是有 X[i] = k * M（其中k为任意整数）。

将 X[i] = k * M 代入 X[i] % a[i] = b[i] 得到 （k * M） % a[i] = b[i]

即 k * M + o * a[i] = b[i] （其中o为任意整数）

两边同时除以 b[i] 可得到 k’ * M + o’ * a[i] = 1

即 k’ * M % a[i] = 1

此时 k’ 为 M 对 a[i]（质数）的 乘法逆元 （关于乘法逆元可以参考我的这篇文章：http://blog.csdn.net/kasumimasami/article/details/52354715）

所以对式子 k’ * M + o’ * a[i] = 1 两边同时乘以 b[i] 可得到

k’ * b[i] * M + o’ * b[i] * a[i] = b[i] 即 k’ * b[i] * M % a[i] = b[i]

所以 X[i] = k’ * b[i] * M

所以 X = ni[1] * b[1] * M[1] + ni[2] * b[2] * M[2] + … + ni[n] * b[n] * M[n]，其中 ni[i] 为 M[i] 对 a[i]（质数）的 乘法逆元

代码如下：

int fastpow(int a,int b,int mod)// a ^ b % mod
{
    int r = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r = r * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b = b >> 1;
    }
    return r;
}

int CRT(int a[], int b[], int len)//数组a,b如上定义，len为方程的个数
{
    int m = 1 , X = 0;
    for(int i = 1; i <= len; i++)
    {
        m = m * a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= len; i++)
    {
        int M = m / a[i];//除了a[i]的乘积M[i]
        int ni = fastpow(M,(a[i]-2),a[i]);//求M[i]关于a[i]的乘法逆元ni[i]
        X = X + ni * M * b[i];
    }
    //返回满足的最小正整数
    while(X < 0)
        X = X + m;
    return X % m;
}