格雷码的生成

格雷码(Gray Code)

格雷码：在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码，另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。

Decimal	Binary	Gray	Gray as decimal
0	000	000	0
1	001	001	1
2	010	011	3
3	011	010	2
4	100	110	6
5	101	111	7
6	110	101	5
7	111	100	4

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那么当给你一个数n时，你怎么生成n位格雷码呢？

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假设原始的值从0开始，格雷码产生的规律是：
1.改变最右边的位元值。
2.改变右起第一个为1的位元的左边位元。
3.重复1。
4.重复2。
直到所有的格雷码产生完毕。
eg：假设产生3位元的格雷码
原始值位 000
第一步：改变最右边的位元值： 001
第二步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 011
第三步：改变最右边的位元值： 010
第四步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 110
第五步：改变最右边的位元值： 111
第六步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 101
第七步：改变最右边的位元值： 100

vector<string> prograycode(int n)
{
    int num(1 << n);
    vector<string> graycode;
    string start(n, '0');
    graycode.push_back(start);
    num -= 1;
    int state = 0;
    while(num > 0)
    {
        switch(state)
        {
        case 0 :
            start = start.replace(n-1, 1, start[n-1] == '0' ? "1" : "0");
            graycode.push_back(start);
            state = 1;
            break;

        case 1:
            int pos = start.find_last_of('1') - 1;
            start = start.replace(pos, 1, start[pos] == '0' ? "1" : "0");
            graycode.push_back(start);
            state = 0;
            break;
        }
        num--;
    }
    return graycode;
}

上面的方法是最基础最原始的方法，但是实现过程较为繁琐。

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另一种方法：假设已经存在了n-1位的格雷码序列，那么只需要在n-1位格雷码的前面加上“0”和“1”就可以生成n位的格雷码，因此，自然而然的想到使用递归来实现。

vector<string> proGraycode(int n)
{
    vector<string> graycode(1 << n);
    if(n == 1)
    {
        graycode[0] = "0";
        graycode[1] = "1";
        return graycode;
    }

    vector<string> last = proGraycode(n-1);

    for(int i = 0; i < (int)last.size(); ++i)
    {
        graycode[i] = "0" + last[i];
        graycode[graycode.size() - 1- i] = "1" + last[i];
    }

    return graycode;
}

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补充：格雷码与二进制编码的相互转换。
G(i) = B(i) XOR B(i+1) 即格雷码的第i位等于二进制编码的第i位与第i+1位异或，G的最高位保持B的最高位不变
eg：二进制01101转换成格雷码为01011
0 1 1 0 1
xor * 0 1 1 0
———————— *表示该位不变
0 1 0 1 1

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博文参考于：格雷码的实现