【图像处理】三种边缘保持的滤波器（双边，引导，加权最小二乘）

从原理上分析，这几种滤波器没有太大的差别，都是基于最基本的思想：在梯度比较大的地方（edges）实现preserve，要求尽量不进行平滑，最好是输出与输入一样；而在梯度比较小的地方，尽量的平滑一下，输入与输出可以有稍大的不同！

那么从这个原理出发，我们来推导双边滤波和引导滤波：

对于双边滤波的话，将spatial kernel（也就是gaussian kernel）与range kernel（也就是intensity的相似性权重）分别提取出来，之后合并为bilateral kernel，也就是 Gs×Gr ，之后与待滤波的输入图像进行卷积滤波，也就得到了滤波后的图像，引入gaussian kernel无可厚非，主要是为了进行平滑滤波，而引入range kernel主要是为了实现上面那句在梯度较大的地方，我们不进行平滑，而梯度较大的地方，那个range kernel Gr 比较小，也就是抑制了 Gs 的作用，实现平坦区域平滑滤波，边沿区域保持的目的！

对于引导和加权最小二乘，都可以直接从最优化手段入手，只不过表现形式不同而已：

min(Iin−Iout)2+λ(regular　item)

不同在于 regular item以及 Iout 的设计上。

加权最小二乘直接使用水平方向和竖直方向的梯度作为正则项，惩罚因子，采用矩阵形式进行描述，然后进行推导得到对应的平滑系数，之后直接得到矩阵求逆运算得到 Iwls 。

引导滤波器则是用线性表示的方法得到输出 Igif ，同样采用上面的最小化方法，不过选择的正则项是线性系数 ak 。之所以采用线性的表示方法，是出于像素的局部性，局部线性关系肯定是存在的。同时为了保证在边缘地区进行保持，在平坦区域进行平滑的目的，选择线性系数 ak 作为正则项，如果 ak=0 ，很明显输出直接全平了，如果 ak=1，bk=0 ，输入等于输出，很显然边缘完全保持了。这个求解方法让我想起了支撑向量机中的推导过程，也是惩罚项的巧妙设计。所以，最优化函数前面的一项用来保证边缘，而后一项需要用来保证平滑性。也就是说，两者应该是矛盾，前一项大的话，后一项必须被约束很小才行，所以也就是说如果输入与输出相差较大的话，主要发生在 ak 很小的地方，也就是比较平滑的地方；而输出与输出相差较小的话，主要发生在 ak 比较大的地方，最大为1，也就是比较不平滑，边缘地方。反过来控制正则项，去考察前面一项也能得到类似的结论。

最后得出的结论从上面总结的可以看出：

（1）High variance的区域，$a_k$趋向于1，$b_k$趋向于0，从而边缘保持；
（2）Low variance的区域，$a_k$趋向于0，$b_k$趋向于均值，从而进行平滑；

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具体的实现，可以参看对应的代码，在E:\LabProject\InfraredImageProcessingAlgorithms中都有相关的参考例子。

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2016-7-3 20:51
张朋艺 [email protected]