组合数学（第二抄）排列与组合

1，无重集合的排列：

对于正整数n，r，r<=n，有

 

2，无重集合的组合：

对于0<=r<=n，有

   

因此 

 

 

帕斯卡公式：对于所有满足1<=k<=n-1的整数n，k，有  

 

3，多重集合的排列：

设S是多重集合，它有k种不同类型的对象，且每一种类型的有限重复数分别是n1，n2，...，nk，设S的大小为

  n=n1+n2+...+nk。则S的排列数目等于 

 

例1：词MISSISSPPI 中的字母的排列数是  。

例2：9个不同的球分别进6洞，问：有多少种方案？

解：因洞可为0，并且每个洞的进球顺序不同又是一个方案，故可把6个洞看成是不同的，用多重集合的排列可得：

  , 全排列再除以隔板的数量。

 

4，可重集合的组合：

设S是有k中类型的集合，每种元素均具有无限的重复数。

那么S的 r 组合的个数等于 

  (可看做是k-1个隔板把r个数分隔，数字没有顺序可言）

 

例子1：一家面包店有8种炸面包圈。如果一盒内装有一打面包圈，那么能够装配多少不同类型的炸面包圈？（每种面包圈数量无限）

解：种类为。

例子2：设S是有四种类型对象a，b，c，d的多重集 {10*a，10*b，10*c，10*d }。每一种类型的对象至少出现一次的S的10组合的个数是多少？

解：即是方程x1+x2+x3+x4=10的解的个数，x1代表在10组合中a的个数，以此类推。

     再进行变量代换：y1=x1-1 , y2=x2-1 , y3=x3-1 , y4=x4-1 。（因为每种类型至少出现一次，故先减1）

则方程变为 y1+y2+y3+y4=6 （y为非负整数解）（这样每个y都可看做是无限）

根据多重集合的组合定理，得。

 

5，不相邻的组合：

从A={1,2，...，n } 个元素中取出r个不相邻的组合。

假设构造出了  { b1,b2,...,br } 范围（1，n） 不相邻组合，b2-b1>=2(任意两个)，设每个序号顺序从0开始，则相对应的减去序号

得到一个新的序列 { b1,b2-1,...,br-r+1 }  范围（1，n-r+1），b2-b1>=1（任意两个），

因为第一个序列任意两个的差值大于等于2，而第二个序列任意两个的差值大于等于1，

即是，从A={1,2，...，n } 个元素中取出r个不相邻的数进行组合与从 （n-r+1 ）个元素中取r个进行无重组合一一对应，其组合数为。

      

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