洛谷P3369【模板】普通平衡树
本蒟蒻最近刚刚学会平衡树，特来写篇博客以加深印象。
（我的意思是若写的不好望各位奆佬多多包含！）
题目描述
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
- 插入 x 数
- 删除 x 数(若有多个相同的数，因只删除一个)
- 查询 x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 +1 。若有多个相同的数，因输出最小的排名)
- 查询排名为 x 的数
- 求 x 的前驱(前驱定义为小于 x ，且最大的数)
- 求 x 的后继(后继定义为大于 x ，且最小的数)
输入输出格式
输入格式：
第一行为 n ，表示操作的个数,下面 n 行每行有两个数 opt 和 x ， opt 表示操作的序号
输出格式：
对于操作 3,4,5,6 每行输出一个数，表示对应答案
输入输出样例
输入样例#1：
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598输出样例#1：
106465
84185
492737样例是真的大啊！=_=
大的都不像是样例了！
好了，现在开始讲解！
首先讲解我用的变量吧！！
int ch[maxn][2] ;//存儿子，ch[][0]存左儿子，ch[][1]存右儿子
int f[maxn] ;//存爹
int size[maxn] ;//存这个点的子树大小
int cnt[maxn] ;//存权值
int key[maxn] ;//存数值
int sz,root ;//整棵树的大小和树根首先，一切从简单的开始讲起，首先说输入（不想看的向下翻）
首先输入一个数n，然后下面n行，每行输入一个操作标记和数。
int n,opt,x;
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&opt,&x);
switch(opt){
case 1: 插入
case 2: 删除
case 3: 找数的排名
case 4: 找排名的数
case 5: 找前驱
case 6: 找后继
}
}然后在依次讲解操作
操作1：插入
以我之见，插入这个是最容易打错的操作（我就打错了好几次）。
总体的思路是：如果遇到一个与x数值相同的数，就把数的权值加一。
还有一些特殊的情况：
1.如果插入时树为空树：那么就把整棵树的长度加一，因为只有一个点，所以要给他的左右儿子赋值为0 ；
2.如果插入时已经到了树的最底端（也没有找到），那么就可以直接插入。
具体见代码，代码如下：
void insert(int x){//插入操作
if(root == 0) {//如果当前树为空树
sz ++ ;//整棵树的长度加一
ch[sz][0] = ch[sz][1] = f[sz] = 0 ;//两个儿子和爸爸都没有
root = sz ;//此时树根就是插入的这个数
size[sz] = cnt[sz] = 1 ;//权值和子树大小都是1
key[sz] = x ;//当前点的data赋值为要插入的数
return ;
}
int now = root , fa = 0 ;
while(true){
if(key[now] == x ){//如果遇到一个节点的数值和要插入的值相同
cnt[now] ++ ;//x的权值++
update(now) ;//数值更新
update(fa) ;
splay(now) ;
break ;
}
fa = now ;
if(key[now] < x) now = ch[now][1] ;//如果数值比当前点的数字大，找右儿子
else now = ch[now][0] ;//反之，找左儿子
if(now == 0){//如果到了树底
sz ++ ;//直接插入，处理方法和空树类似
ch[sz][0] = ch[sz][1] = 0 ;
f[sz] = fa ;
size[sz] = cnt[sz] = 1 ;
if(key[fa] < x ) ch[fa][1] = sz ;//处理应插入的地方
else ch[fa][0] = sz ;
key[sz] = x ;
update(fa) ;
splay(sz) ;
break ;
}
}
}PS：代码里好像有很多函数，像update和splay，这些在文章的最后面会给出代码 QwQ，只知道update是更新数值，splay是b把括号里的节点旋转到根的位置就可以了！！QwQ
操作2：删除
删除在我看来无异于大模拟 ，也许就是个大模拟吧！！
删除，简单来说，就是把这一个节点的data（儿子，父亲，祖宗）给clear（清除）掉
但是，这个还是分好多好多的情况的啊！
1.如果有不少相同的数，那么就随便踢掉一个
2.如果要删得数没有孩子，那么就直接删掉（毕竟没有孩子没有多余的牵挂啥的）
3.如果只有一个独生子，那么就要学一下檀黎斗神的操作，干掉自己的爸爸，自己当爸爸！！
最后捏，我们只要改变各个父子关系，好让要删数的data销声匿迹就好了！
然后就是代码：
void del(int x){
int L_Y_T = find(x) ;//此操作的目的只是吧x旋到树根……
if(cnt[root]>1){//如果有很多个x
cnt[root] -- ;//随便踢掉一个
update(root) ;//更新数值
return ;
}
if(!ch[root][0] && !ch[root][1]) {//如果无儿无女
clear(root) ;//直接放进回收站
root = 0 ;//当然没根了（因为L_Y_T让x当根了啊）
return ;
}
if(!ch[root][0]){如果只有右儿子（没有左儿子且有儿子）
int oldroot = root ;//将当前根存一下
root = ch[root][1] ;//让他仅有的右儿子当根
f[root] = 0 ;//根是右儿子了，所以右儿子就没爹了
clear(oldroot) ;//清空垃圾数据
return ;
}
if(!ch[root][1]){//如果只有左儿子（没有右儿子且有儿子）
int oldroot = root ;//同上
root = ch[root][0] ;//同上
f[root] = 0 ;//同上
clear(oldroot) ;//同上
return ;
}
int leftbig = pre() , oldroot = root ;找到新根（数的前驱），然后保存旧根
splay(leftbig) ;//让新根当根
ch[root][1] = ch[oldroot][1] ;//把原来x的右儿子接到新根上。
f[ch[oldroot][1]] = root ;//这样就吧x彻底删了QWQ
clear(oldroot) ;//删除废物数据
update(root) ;//更新数据
}PS：clear和pre也是个函数，意思很常规，后面有代码。
操作3：查询x排名
如果x比当前的节点小，那么就去左子树找
反之，去右子树找
如果相等的话怎么办？？
如果相等的话就停下啊还怎么办！！
好吧，不皮了
int find(int x){
int now = root , ans = 0 ;//初始化，一定要的
while(true){
if(x < key[now]) //如果x比当前数值小
now = ch[now][0] ;//搭乘去左子树的高铁=_=
else//否则就跑右子树
{
if(ch[now][0])//如果有左子树，也就是在你前面还有别的
ans += size[ch[now][0]] ;//那么就加上左子树的数值
//是不是对于上面的几行有人已经W_W了？？
//讲解一下：由于左子树总是小于根小于右子树
//所以，因为是排名嘛，比如说10分的有3个人，1分的有一个，100分的有一个且一共只有这些成绩，那么你考了99分就只排在100后面，但是如果你考了9分的话就只有排名5了，因为有3个10分，简而言之，你考的高没人管你，但你考的低就是个问题了！！！！
if(x == key[now]){//如果找到了
splay(now) ;//那么就转一下
return ans + 1 ;
}
ans += cnt[now] ;
now = ch[now][1] ;
}
}
}操作4：找到排名为x的节点
这个说实话烦人啊！操作3和操作4看的我是眼花缭乱啊！QwQ~~我太弱了~~QwQ T~T
和上面的思想差不多~~
如果当前点有左子树，且x比左子树的权值（占得排名）小的话，就搭乘前往左子树的列车。
反之，就去右子树。
int findx(int x){//操作4 找到排名为x的点
int now = root ;//照样存根
while(1)
{
if(ch[now][0] && x <= size[ch[now][0]])//如果有左子树并且x比左子树的权值（占得排名）小
now = ch[now][0] ;//去左子树玩
else
{
int temp = (ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0) + cnt[now] ; //精髓（这个不好翻译QwQ），找排名嘛！和find（）一样，如果有左子树就加上左子树占得排名（如果没有就不干了呗！）；
if(x <= temp) return key[now] ;
x -= temp ;
now = ch[now][1] ;
}
}
}操作5：找前驱
操作6：找后继（狠心遗弃）
看了这么久，大家伙会发现，右子树>根>左子树的小规律，所以，前驱就是最左边的点 ，同理，后继就是最右边的点喽！！
int pre(){
int now = ch[root][0] ;
while(ch[now][1]) now = ch[now][1] ;
return now ;
}好了，我们现在基本操作都讲完了，现在该叙述一下中间涉及到的函数了
function1：clear（int x）
只用于将点删除后的清零小工作~~
void clear(int x){
ch[x][0] = ch[x][1] = size[x] = cnt[x] = key[x] = f[x] = 0 ;//各项清零
}很简单，没啥好讲的
function2：get(int x)
作用就是查询x是左儿子还是右儿子。
int get(int x){
return ch[f[x]][1] == x ;
}
/*
讲解一下：（其实都能看懂吧~~）
如果x爹的右儿子是x的话，就返回1
如果x爹的右儿子不是x的话，也就是x是x爹的做儿子的话，返回0
*/function3 ：update（int x ）
唯一用途：修改后更新数值
code
void update(int x)
{
if(x){
size[x] = cnt[x] ;
if(ch[x][0]) size[x] += size[ch[x][0]] ;
if(ch[x][1]) size[x] += size[ch[x][1]] ;
}
}也比较简单，于是就不住释了~~~
function4：rotate（int x）
这个可是平衡树的重点大戏
rotate没理解好就和输出输出错了一个效果！！QwQ、
具体思路：首先找到x关于x爹的关系，记做k关系（用get（））
然后 将x与k关系相反的儿子 的父亲 记做与（x爹）关系相同的儿子
然后再将和x关系相反的儿子 的父亲 记做 x爹 的父亲
将x爹的父亲记做x
将x与k关系相反的儿子 记做 x爹
将x的父亲记做x爹的父亲（也就是x的爷爷）
有点混乱是不是呀？？！！
正常，看看代码，自己画画图就好了！！！
void rotate(int x){//旋转操作
int old = f[x] , oldf = f[f[x]] ;//定义 old 为 x爹 ， oldf 为 x爷
int k = get(x) ;// 关系
ch[old][k] = ch[x][!k] ;//x爹的k儿子为x的！k儿子
f[ch[old][k]] = old ;//x的！k儿子的爹记为x爹（夭寿了！改爹了！！）
ch[x][!k] = old ;//x的！k儿子 为 x自己的爹
f[old] = x ;
f[x] = oldf ;
if(oldf){//判断自己有没有新的爸
if(ch[oldf][1] == old) ch[oldf][1] = x ;//如果有新的爸爸，且右儿子是x爹（x叛变之前的爹），那么x成为自己爷爷的新右儿子（因为x爹已经成了x的儿子了）
else
ch[oldf][0] = x ;
}
update(old) ;update(x) ;//更新数字
}function5 ： splay（int x）
就是多次的rotate喽！
直接看《code》 吧
void splay(int x)
{
for(int fa;fa = f[x] ;rotate(x)) {//玩命旋转
if(f[fa]){
if(get(x) == get(fa))//特殊情况：三点共线（三代共线）
rotate(fa) ;//先旋转爸
else
rotate(x) ;//先旋转自己
}
}
root = x ;
}完结散花！！！！
啥？？完整代码？？
把上面组合一下应该就是了吧……………………