bzoj 3309: DZY Loves Math（莫比乌斯反演+线性筛）

题面

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309

求

∑i=1a∑j=1bf((i,j))

T<=10000,1<=a,b<=107

其中 f(n) 是 n 所含质因子的最大幂指数。

---

思路

这个反演很简单，假设 a<b ，

ans=∑T=1a⌊nT⌋⌊mT⌋∑d|Tf(d)μ(Td)

设后面的那堆为 F(T) ，求 F(T) 的前缀和，这是个含 μ 的狄利克雷卷积，根据 μ 的特性，我们也能筛出每个 F 。

明显不是积性，将 T 和 d 表示一下

T=pk11pk22...pknn,d=pq11pq22...pqnn

如果存在 qi<ki−1 ， d 没有贡献。考虑有贡献的，若存在两个不同的 ki ，将 T 的质因子指数分成最大和非最大两类。由于 f 只取决于最大集合，剩下的集合取奇数偶数方案相同 μ 值抵消，故若存在两个不同 ki 则 F(T)=0 。

假如全部一样呢？ μ 那边取的不在 f 里的集合元素奇偶个数也是一样啊！但有一种情况就是 f(d)=ki−1 ，这时多算了 (−1)n ，加回一个 (−1)n+1 。

这样就可以愉快地线筛了，记录最小质因子的个数 e[i] ，最小质因子组成的约数 g[i] ，算 F 就是判断一下，然后转移，跟求 μ 差不多。

---

代码

#include 
#define maxn 10000100

using namespace std;

typedef long long LL;

int T, n, m, cnt;
int prime[maxn], g[maxn], e[maxn], F[maxn];
bool Vis[maxn];
LL ans;

void Pre(){
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!Vis[i]){
            prime[++cnt] = i;
            e[i] = F[i] = 1;
            g[i] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt; j++){
            if(i * prime[j] >= maxn)  break;
            Vis[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                e[i * prime[j]] = e[i] + 1;
                g[i * prime[j]] = g[i] * prime[j];
                int tmp = i / g[i];
                if(tmp == 1)  F[i * prime[j]] = 1;
                else  F[i * prime[j]] = (e[tmp] == e[i * prime[j]]) ? -F[tmp] : 0;
                break;
            }
            else{
                e[i * prime[j]] = 1;
                g[i * prime[j]] = prime[j];
                F[i * prime[j]] = (e[i] == 1) ? -F[i] : 0;
            }
        }
    }
    for(int i = 2; i < maxn; i++)  F[i] += F[i-1];
}

int main(){

    freopen("4-9.in", "r", stdin);
    freopen("4-9.out", "w", stdout);

    Pre();

    scanf("%d", &T);

    while(T --){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if(n > m)  swap(n, m);
        int last;
        ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i = last+1){
            last = min(n/(n/i), m/(m/i));
            ans += 1LL * (n / i) * (m / i) * (F[last] - F[i-1]);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
} 

---

向前走，别回头。