NOIP2017 Day1 T1 小凯的疑惑 真·奥义·蒟蒻总结

题目空降

Description

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

Input

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。

Output

输出文件仅一行，一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

Analysis

由于本人蒟蒻不会证明，转载一发大佬证明。神犇勿喷。

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用到一个引理：不定方程 ax+by=c(a,b,c>0) 一定有一组解 (x1,y1) 满足 −a<y1≤0 且 x1>0

先证引理

首先，显然 x,y 中至少有一个非负（都是负数怎么等于 c ）

然后假设有一组特解 (x0,y0) ，那么通解为 (x0+bt,y0−at)(t∈Z)

所以有一组特解 (x1,y1) 满足 −a<y1≤0

因为 y1≤0 ，所以 x1>0

引理得证

再证原命题

a=1 或 b=1 时命题成立，下面考虑 a>1,b>1

分两步：

1.证 ab−a−b≠ax+by

假设 ab−a−b=ax+by(x≥0,y≥0)

那么 ab=a(x+1)+b(y+1)

令 m=x+1,n=y+1(m≥1,n≥1) ，则 ab=am+bn

所以 a|bn

又因为 gcd(a,b)=1 ，所以 a|n ，不妨设 n=an′

上面的式子变为 ab=am+abn′ ，推出 am=(1−n′)ab≤0 ，矛盾！

原命题得证

2.证 ab−a−b+t(t≥1) 可以被分解为 ax+by 的形式

构造不定方程 au+bv=t ，由引理得它有一组特解满足 −a<v0≤0 且 u0>0

ab−a−b+t=ab−a−b+au0+bv0=(u0−1)a+(v0+a−1)b

因为 u0−1≥0,v0+a−1≥0 ，所以原命题得证

所以， ab−a−b 是最大的不能被表示为 ax+by 的整数

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

long long a,b;

int main()
{
    freopen("math.in","r",stdin);
    freopen("math.out","w",stdout);

    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld",a*b-a-b);

    return 0;
}