《算法导论》第22章 基本的图算法 个人笔记

第22章 基本的图算法

22.1 图的表示

对于图G=(V,E)，可以用两标准表示方法表示，一种表示法将图作为邻接链表的组合，另一种表示法则将图作为邻接矩阵来看待，本书采用邻接链表。 邻接链表表示由一个包含 |V| 条链表的数组 Adj 所构成，每个结点有一条链表。对于每个结点 u∈V ，邻接链表 Adj[u] 包含所有与结点u之间有边相连的结点v。

22.2 广度优先搜索

每个结点u的颜色属性放在属性x.color中，将u的前驱结点存放在属性u.p中，若没有前驱则u.p=NIL。属性u.d记录的是广度优先搜索算法所计算出的从源结点s到结点u之间的距离。

BFS(G,s){
    for u in G.V-{s}
        u.color = white
        u.d = \inf
        u.p = NIL
    s.color = gray
    s.d = 0
    s.p = NIL
    Q = new QUEUE()
    ENQUEUE(Q,s)
    while !Q.isEmpty {
        u = DEQUEUE(Q)
        for v in G.Adj[u]
            if v.color == white
                v.color = gray
                v.d ++
                v.p = u
                EVQUEUE(Q,v)
        u.color = black
    }
}

22.3 深度优先搜索

1、深度优先搜索算法还在每个结点盖上一个时间戳。每个结点v有两个时间戳：第一个时间戳v.d记录结点v第一次被发现的时间（涂上灰色的时间），第二个时间戳v.f记录的是搜索完成对v的邻接链表扫描的时间（涂上黑色的时间）。time为全局变量。

DFS(G){
    for u in G.V
        u.color = white
        u.p = NIL
    time = 0
    for u in G.V
        if u == white
            DFS-VISIt(G,u)
}
DFS-VISIT(G,u){
    time ++
    u.d = time
    u.color = gray
    for v in G.Adj[u]
        if v.color == white
            v.p = u
            DFS-VISIT(G,v)
    u.color = black
    time ++
    u.f = time
}

深度优先搜索算法的运算时间为 Θ(V+E) 。

2、深度优先搜索的另一个重要的性质是，结点的发现时间和完成时间具有所谓的括号化结构。
定理（括号化定理）：在对有向或无向图G=(V,E)进行的任意深度优先搜索中，对于任意两个结点u和v来说，下面三种情况只有一种成立：

• 区间[u.d,u.f]和区间[v.d,v.f]完全分离，在深度优先森林中，结点u不是结点v的后代，结点v也不是结点u的后代。
• 区间[u.d,u.f]完全包含在区间[v.d,v.f]内，在深度优先树中，结点u是结点v的后代。
• 区间[v.d,v.f]完全包含在区间[u.d,u.f]内，在深度优先树中，结点v是结点u的后代。

22.4 拓扑排序

拓扑排序是G中所有结点的一种线性次序，该次序满足如下条件：如果图G包含边(u,v)，则结点u在拓扑排序中处于结点v的前面。
拓扑排序主要思想：

• DFS（G）计算每个结点v的v.f
• 按v.f降序排列