BZOJ 4008 HNOI2015 亚瑟王

Problem

BZOJ

Solution

这道题做得真的很懵逼，我至今还记得上个月在做概率与期望的时候，因为这道题而荒废了一个下午。另外还要感谢Chlience大佬给我讲解思路qwqqq

有关状态的定义比较难想到。我们设f[i][j]表示r轮中，前i张卡出了j张卡的概率，显然要满足 i≥j i ≥ j ，才是有效状态。至于这么设状态的原因，我们会发现“立即结束该轮”的条件很棘手，这导致后面的卡牌可能不会考虑其发动概率。那么我们不妨考虑加一维状态，表示仅考虑前i张卡牌的情况，这会方便我们进行状态转移。

首先我们要明确一点，卡牌i始终打不出来的概率是 pow(1−p[i],r) p o w ( 1 − p [ i ] , r ) ，相应的，我们用全集减一下就能得到，卡牌i打出来的概率是 1−pow(1−p[i],r) 1 − p o w ( 1 − p [ i ] , r ) 。

那么每张牌的打出概率为 ex[i]=∑rj=0f[i−1][j]∗(1−pow(1−p[i],r−j)) e x [ i ] = ∑ j = 0 r f [ i − 1 ] [ j ] ∗ ( 1 − p o w ( 1 − p [ i ] , r − j ) )

由上，第一张牌前面没有牌，所以不会受到前面牌是否打出的影响，我们容易得到边界条件： f[1][0]=pow(1−p[1],r) f [ 1 ] [ 0 ] = p o w ( 1 − p [ 1 ] , r ) ， f[1][1]=1−f[1][0] f [ 1 ] [ 1 ] = 1 − f [ 1 ] [ 0 ] 。

对于f[i][j]，我们将答案从f[i-1][]转移而来时，就只需要考虑第i张牌究竟能不能打出来。

对于打不出来的情况： f[i][j]+=f[i−1][j]∗pow(1−p[i],r−j) f [ i ] [ j ] + = f [ i − 1 ] [ j ] ∗ p o w ( 1 − p [ i ] , r − j ) 。因为前i-1张牌打出了j张，那么就有r-j轮会扫到第i张牌。
同理，对于打出来的情况： f[i][j]+=f[i−1][j−1]∗(1−pow(1−p[i],r−j+1)) f [ i ] [ j ] + = f [ i − 1 ] [ j − 1 ] ∗ ( 1 − p o w ( 1 − p [ i ] , r − j + 1 ) )

但在状态转移时要注意满足f[i-1][j]为有效状态，即 i>j i > j 。

Code

代码跑了6648ms，如果你对每组询问预处理幂而不是每次调用pow的话会快很多，大概1000ms左右。

#include 
#include 
using namespace std;
int z,n,m,inj[250];
double ans,p[250],ex[250],f[250][250];
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&z);
    while(z--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf%d",&p[i],&inj[i]);
            ex[i]=0.0;
        }
        f[1][0]=pow(1-p[1],m);ex[1]=f[1][1]=1.0-f[1][0];
        ans=ex[1]*inj[1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++)
            {
                f[i][j]=0.0;
                if(j) f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(1.0-pow(1.0-p[i],m-j+1));//抽到了
                if(i>j)
                {
                    f[i][j]+=f[i-1][j]*pow(1.0-p[i],m-j);//抽不到
                    ex[i]+=f[i-1][j]*(1.0-pow(1.0-p[i],m-j));
                }
            }
            ans+=ex[i]*inj[i];
        }
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
    return 0;
}