hdu 6390 (欧拉函数+莫比乌斯反演)

给出一个表达式

Gu(a,b) = \frac{\phi(ab) }{\phi (a)*\phi(b)}

求解(\sum_{a=1}^{m}\sum_{b=1}^{n}Gu(a,b)) (mod(p))

首先,设p为a,b共同的质因数

phi(n) = p^α = (p-1)*p^(α-1)

phi(ab) = (p-1)*p^(α1+α2-1)

phi(a) = (p-1)*p^(α1-1)

phi(b) = (p-1)*p^(α2-1)

phi(ab)/(phi(a)*phi(b)) = p-1/p;

这样原式子就能转化为\frac{gcd(a,b))}{\phi (gcd(a,b))}

若p只为a或b的质因子,可以发现约分之后都为1

所以上式成立。

所以问题就转化为\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{m}\frac{gcd(a,b)}{\phi (gcd(a,b))}

进一步转化为\sum_{k=1}^{min(n,m)}[gcd(a,b)==k] \frac{k}{\phi (k)}

可以通过莫比乌斯反演来求解gcd(a,b)=k的个数,最后乘上逆元即为答案

#include 
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#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
bool check[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
int phi[maxn];
ll inv[maxn];
int p;


void init()
{
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
        phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j = i; j < maxn; j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

void Moblus()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if(i*prime[j]>maxn)
                break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

ll cal(int b,int d,int k)
{
    ll ans1 = 0;
    b = b/k;
    d = d/k;
    if(b>d)
        swap(b,d);
    for(int i = 1; i <= b; i++)
    {
        ans1 += (ll)mu[i]*(b/i)*(d/i);
    }

    return ans1;
}

void init2()
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        inv[i] = inv[p%i]*(ll)(p-p/i)%p;
    }
}

int main()
{
    init();
    Moblus();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        ll ans = 0;
        init2();
        for(int k = 1; k <= min(n,m); k++)
        {
            ll temp = cal(n,m,k)%p;
            temp = temp*k%p*inv[phi[k]];
            ans = (ans+temp)%p;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

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