皮克定理

皮克定理早在高中就学过了，但以前没有计算几何的基础，一直没做过题，今天再来学习一下

皮克定理：
给定坐标均是整点的简单多边形，设其面积为 S ，内部整点数为 a ，边界上整点数为 b ，那么他们满足关系 S=a+b2−1

一般来说，我们都可以比较容易的求得 S 和 b ，所以运用皮克定理的大都是求 a 。求 S 和 b 则需要用到两个知识：
1.一条边上经过的整点数 bi (包括端点)为 bi=gcd(abs(P0.x−Pt.x),abs(P0.y−Pt.y)+1 ，证明很简单
2.对于点按顺序给出的多边形，面积 S 用叉积就可以求了，约定 Pn+1=P0,O 为原点， S=∑ni=1det(PiO,Pi+1O)