计算几何之三角剖分--Art Gallery Problem

Art Gallery Problem

我们先引入一个著名的Art Gallery问题：
对于一个多边形的画廊，需要多少个摄像头（360度无死角）才能完全覆盖？

圆点为摄像头。其实就转化为了这样一个问题：

作为一名菜鸟程序员，我们不去深究数学中的问题，用直觉来感受一些特征。

下界

对于n>3的凸多边形（convex polygon）和星状多边形(star polygon)，我们可以很直观的看出G(P)=1。

上界

这个问题上界为n(仅适用于二维)，只要在每一个顶点放置一个哨兵即可。所以：

三角剖分

我们假设我们叙述的都是简单多边形,即不连续的边都是不相交的：

假设我们已经掌握了三角剖分的技术，我们只要给每个三角形的顶点分别用RGB三种颜色染色，并且保证每个三角形的都没有两个相同颜色的顶点：

我们只需在某种颜色的顶点放置一个哨兵，这样就可以观察到多边形所有的区域。这时我们发现上界已经成为了：

至于为什么只用三种颜色，可以用对偶图（Dual grpah）的方法来证明,简单多边形的对偶图是一棵树，这里不再叙述:

我们人为的构造这样一种上界：

参考资料：

1. http://www.xuetangx.com/cours...

2. https://zh.wikipedia.org/wiki...