道路和航路 （SPFA算法）（Bellman-Ford算法的优化）

问题描述
农夫约翰正在针对一个新区域的牛奶配送合同进行研究。他打算分发牛奶到T个城镇（标号为1..T），这些城镇通过R条标号为（1..R）的道路和P条标号为（1..P）的航路相连。

每一条公路i或者航路i表示成连接城镇Ai（1<=A_i<=T）和Bi（1<=Bi<=T）代价为Ci。每一条公路，Ci的范围为0<=Ci<=10,000；由于奇怪的运营策略，每一条航路的Ci可能为负的，也就是-10,000<=Ci<=10,000。

每一条公路都是双向的，正向和反向的花费是一样的，都是非负的。

每一条航路都根据输入的Ai和Bi进行从Ai->Bi的单向通行。实际上，如果现在有一条航路是从Ai到Bi的话，那么意味着肯定没有通行方案从Bi回到Ai。

农夫约翰想把他那优良的牛奶从配送中心送到各个城镇，当然希望代价越小越好，你可以帮助他嘛？配送中心位于城镇S中（1<=S<=T）。

输入格式
输入的第一行包含四个用空格隔开的整数T，R，P，S。

接下来R行，描述公路信息，每行包含三个整数，分别表示Ai，Bi和Ci。

接下来P行，描述航路信息，每行包含三个整数，分别表示Ai，Bi和Ci。

输出格式
输出T行，分别表示从城镇S到每个城市的最小花费，如果到不了的话输出NO PATH。
样例输入
6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10
样例输出
NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100
数据规模与约定
对于20%的数据，T<=100，R<=500，P<=500；

对于30%的数据，R<=1000，R<=10000，P<=3000；

对于100%的数据，1<=T<=25000，1<=R<=50000，1<=P<=50000。

这题乍看之下是一个有向图和无向图的混合型，但是，我们可以知道在最短路，对于一条正权边，能经过的正权边当然是越少越好，可是题中有负权，但是题目说了有负权的边是有向边，也就是说只会经过一次（排除负环情况），这个就只能用Bellman-Ford算法，这个算法之前有讲过，还有一个优化，称为SPFA算法，但是没有详细讲这个优化，这次就算用这个算法解决这道题

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;
public class Main 
{   
    static int INF=100000*100000+1;
    public static void main(String[] args) 
    {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int T=sc.nextInt();
        int R=sc.nextInt();
        int P=sc.nextInt();
        int S=sc.nextInt();//四个题设要求
        ArrayList list[]=new ArrayList[T+1];//邻接表
        int x,y,w;
        for(int i=0;iif(list[x]==null)list[x]=new ArrayList<>();
            if(list[y]==null)list[y]=new ArrayList<>();
            list[x].add(new Edge(y,w));
            list[y].add(new Edge(x,w));//对于无向边
        }
        for(int i=0;iif(list[x]==null)list[x]=new ArrayList<>();
            list[x].add(new Edge(y,w));//对于有向边，观察有向边和无向边的建立由什么不同之处
        }
        int d[]=new int[T+1];//所有S到其他的可达的点的最短路都将存储在这里

        boolean inQ[]=new boolean[T+1];//如果一个点入队，则置为true
        for(int i=1;i<=T;i++)d[i]=INF;//初始化均为无穷大
        d[S]=0;//自己到自己的距离为0
        inQ[S]=true;//将起点入队的标志
        Queue queue=new LinkedList<>();
        queue.add(S);

        while(!queue.isEmpty())
        {
            int s=queue.poll();//出队
            inQ[s]=false;//标志
            if(list[s]==null)continue;//假设一个点只有入度没有出度，那么在上面的建图过程中是没有赋予ArrayList这个对象的，只有一个引用而已，防止出现运行错误
            for(int i=0;i<list[s].size();i++)
            {
                Edge e=list[s].get(i);//顺次获得与s邻接的一条边的信息
                if(d[s]d[s]+e.w)//松弛造作
                {
                    d[e.to]=d[s]+e.w;
                    if(!inQ[e.to])//如果一个点的最短路被修改了信息，但没有入队，，那么就将其入队
                    {
                        queue.add(e.to);
                        inQ[e.to]=true;
                    }
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=T;i++)
        {
            if(d[i]==INF)//说明这点一次都没有经过松弛操作，那么说明这个点不可达
                System.out.println("NO PATH");
            else
                System.out.println(d[i]);

        }
    }
}
class Edge//边的定义
{
    int to,w;
    Edge(int to,int w)
    {
        this.to=to;
        this.w=w;
    }
}

对于这个算法，我们可以这样理解，之所以要把一个经过松弛操作的点入队（假设之前没有在队列）是因为这个点的更新会对后续的点的最短路的更新产生影响，假设每个点都存在最短路或者不可达，那么经过若干轮循环，松弛操作将不会再发生，也因而，不会再有入队的情况，队列最终为空，因为题目要求了不会有负环。假如有负环，那么某些点的更新操作会一直进行会趋向于无穷小，会产生死循环，因为队列会一直不为空，对于这种情况的侦测，我们可以在设置一个数组update[T+1]来记录一个点的更新次数，如果一个点的更新次数超过了T-1次， 说明这个图存在负环，以此来终止程序。